Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem dada. As informações que temos são:
- A equação diferencial é
- A incógnita é a função
de uma variável independente que chamarei de . - O objetivo é determinar a família de todas as funções
que satisfazem essa equação (solução geral).
Passo 2
Vou usar um método padrão para equações lineares com coeficientes constantes: suponho uma solução do tipo exponencial
, onde
é uma constante a determinar.
Explicação do porquê desse palpite:
- Derivar
traz fatores simples: e . - Substituindo na equação diferencial transformamos a condição numa equação algébrica para
. Essa equação algébrica é chamada de equação característica. Isso funciona porque a equação é linear e homogênea com coeficientes constantes.
Passo 3
Substituo
na equação
. Primeiro calcule as derivadas:
Substituindo:
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e obter a equação característica:
Passo 4
Resolvo a equação característica
.
Aqui
é a unidade imaginária (
). Então os dois valores de
são complexos conjugados:
e
.
Explicação do que isso implica para a solução real:
- Para uma equação linear homogênea com coeficientes reais, quando a equação característica tem raízes complexas
a solução geral real é
onde
e
são constantes reais arbitrárias. Aqui
é a parte real das raízes e
é a parte imaginária positiva.
Passo 5
No nosso caso a parte real é
e a parte imaginária positiva é
. Aplicando a fórmula, obtemos a solução geral real:
onde
e
são constantes reais arbitrárias.
Explicação rápida das constantes:
-
e aparecem porque a equação é de segunda ordem e a solução geral tem duas constantes livres; elas serão fixadas se forem dadas condições iniciais (por exemplo e ).
Passo 6
Verificação direta (opcional, mas útil para ganhar confiança): calculo
e
para a solução encontrada e substituo na equação para ver se a igualdade é satisfeita.
Se
, então
Agora substituindo em
:
Portanto a expressão é zero para todos
, confirmando que a solução está correta.
Passo 7
Resumo e dica para a prova: quando surgir
com coeficientes constantes, tente
, forme a equação característica
e resolva. Se as raízes forem complexas conjugadas
, escreva a solução em termos de coseno e seno como feito aqui. Vai por mim: decorar esse procedimento e praticar 2–3 exemplos é suficiente para resolver rapidamente na prova. Força, você consegue!