Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
3 y^{\prime \prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem dada. As informações que temos são:
  • A equação diferencial é 3\,y''+y=0.
  • A incógnita é a função y de uma variável independente que chamarei de x.
  • O objetivo é determinar a família de todas as funções y(x) que satisfazem essa equação (solução geral).

Passo 2

Vou usar um método padrão para equações lineares com coeficientes constantes: suponho uma solução do tipo exponencial \displaystyle y(x)=e^{r x}, onde r é uma constante a determinar.
Explicação do porquê desse palpite:
  • Derivar e^{r x} traz fatores simples: \displaystyle \frac{d}{dx}e^{r x}=r e^{r x} e \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}e^{r x}=r^2 e^{r x}.
  • Substituindo na equação diferencial transformamos a condição numa equação algébrica para r. Essa equação algébrica é chamada de equação característica. Isso funciona porque a equação é linear e homogênea com coeficientes constantes.

Passo 3

Substituo y(x)=e^{r x} na equação \displaystyle 3y''+y=0. Primeiro calcule as derivadas:
y'=r e^{r x},\qquad y''=r^2 e^{r x}.
Substituindo:
3\bigl(r^2 e^{r x}\bigr)+e^{r x}=0.
Como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por e^{r x} e obter a equação característica:
3r^2+1=0.

Passo 4

Resolvo a equação característica \displaystyle 3r^2+1=0.
3r^2=-1\quad\Rightarrow\quad r^2=-\dfrac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad r=\pm i\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
Aqui i é a unidade imaginária ( i^2=-1). Então os dois valores de r são complexos conjugados: \displaystyle r_1= i\frac{1}{\sqrt{3}} e \displaystyle r_2=- i\frac{1}{\sqrt{3}}.
Explicação do que isso implica para a solução real:
  • Para uma equação linear homogênea com coeficientes reais, quando a equação característica tem raízes complexas r=\alpha\pm i\beta a solução geral real é
y(x)=e^{\alpha x}\Bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\Bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias. Aqui \alpha é a parte real das raízes e \beta é a parte imaginária positiva.

Passo 5

No nosso caso a parte real é \alpha=0 e a parte imaginária positiva é \displaystyle \beta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Aplicando a fórmula, obtemos a solução geral real:
y(x)=C_1\cos\!\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)+C_2\sin\!\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{3}}\Bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias.
Explicação rápida das constantes:
  • C_1 e C_2 aparecem porque a equação é de segunda ordem e a solução geral tem duas constantes livres; elas serão fixadas se forem dadas condições iniciais (por exemplo y(0) e y'(0)).

Passo 6

Verificação direta (opcional, mas útil para ganhar confiança): calculo y' e y'' para a solução encontrada e substituo na equação para ver se a igualdade é satisfeita.
Se \displaystyle y=C_1\cos\!\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)+C_2\sin\!\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{3}}\Bigr), então
y'=-\dfrac{C_1}{\sqrt{3}}\sin\!\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)+\dfrac{C_2}{\sqrt{3}}\cos\!\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{3}}\Bigr),
y''=-\dfrac{C_1}{3}\cos\!\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)-\dfrac{C_2}{3}\sin\!\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{3}}\Bigr).
Agora substituindo em 3y''+y:
3y''+y=3\Bigl(-\dfrac{C_1}{3}\cos\!\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)-\dfrac{C_2}{3}\sin\!\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)\Bigr) + C_1\cos\!\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)+C_2\sin\!\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)=0.
Portanto a expressão é zero para todos x, confirmando que a solução está correta.

Passo 7

Resumo e dica para a prova: quando surgir \displaystyle a y''+b y'+c y=0 com coeficientes constantes, tente y=e^{r x}, forme a equação característica a r^2+b r+c=0 e resolva. Se as raízes forem complexas conjugadas \alpha\pm i\beta, escreva a solução em termos de coseno e seno como feito aqui. Vai por mim: decorar esse procedimento e praticar 2–3 exemplos é suficiente para resolver rapidamente na prova. Força, você consegue!

Resposta

y(x)=C_1\cos\!\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)+C_2\sin\!\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)

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