Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
y^{\prime \prime}+9 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem linear homogênea com coeficientes constantes e pede a solução geral. Especificamente:
  • Equação dada: y^{\prime\prime}+9y=0.
  • O que é pedido: encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa equação (ou seja, a família de todas as soluções com duas constantes arbitrárias).

Passo 2

Estratégia inicial (método padrão): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma técnica muito usada é tentar uma solução do tipo exponencial. Ou seja, suponho uma solução da forma
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Essa suposição funciona porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r.

Passo 3

Substituo y(x)=e^{r x} na equação \;y^{\prime\prime}+9y=0\;. As derivadas são \;y'=r e^{r x}\; e \;y''=r^{2}e^{r x}\;. Substituindo:
r^{2}e^{r x}+9e^{r x}=0.
Como e^{r x}\neq0 para todo x, posso dividir por e^{r x} e obter a equação característica (algébrica):
r^{2}+9=0.

Passo 4

Resolver a equação característica:
r^{2}=-9\quad\Rightarrow\quad r=\pm 3i,
onde i é a unidade imaginária ( i^{2}=-1). Ou seja, os dois raízes são complexas conjugadas r_1=3i e r_2=-3i.

Passo 5

Interpretação das raízes complexas e forma real da solução: quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta, a solução geral real da equação diferencial é
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias. No nosso caso \alpha=0 e \beta=3, porque r=\pm 3i. Logo a solução geral real é
y(x)=C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x),
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.
Explicação rápida (por que isso acontece): das raízes r=\pm 3i vem as soluções complexas e^{3ix} e e^{-3ix}. Usando a fórmula de Euler
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,
pode-se combinar e^{3ix} e e^{-3ix} para obter as funções reais \cos(3x) e \sin(3x), que formam a base real das soluções.

Passo 6

Verificação direta (para fixar e ganhar confiança): vou derivar a solução encontrada e confirmar que ela satisfaz a equação diferencial. Seja
y(x)=C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x).
As derivadas são
y'(x)= -3C_{1}\sin(3x)+3C_{2}\cos(3x),
y''(x)= -9C_{1}\cos(3x)-9C_{2}\sin(3x) = -9\big(C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x)\big).
Logo
y''+9y = -9\big(C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x)\big) + 9\big(C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x)\big) = 0,
confirmando que a forma encontrada é realmente solução.

Passo 7

Interpretação física/intuitiva (opcional, para lembrar na prova): a equação \;y''+9y=0\; é a equação de um oscilador harmônico simples sem amortecimento, com frequência angular \omega=3. As constantes C_{1} e C_{2} são determinadas por condições iniciais (valores de y(0) e y'(0), por exemplo). Se preferir, a solução também pode ser escrita em forma de amplitude e fase:
y(x)=A\cos(3x-\varphi),
onde A=\sqrt{C_{1}^{2}+C_{2}^{2}} e \varphi=\operatorname{atan2}(C_{2},C_{1}).

Passo 8

Como determinar C_{1} e C_{2} a partir de condições iniciais (receita prática para a prova): se forem dadas y(0)=y_{0} e y'(0)=v_{0}, então
y(0)=C_{1}=y_{0},
y'(0)=3C_{2}=v_{0}\quad\Rightarrow\quad C_{2}=\frac{v_{0}}{3}.
Assim basta substituir para obter a solução particular.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x)

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