Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem linear homogênea com coeficientes constantes e pede a solução geral. Especificamente:
- Equação dada:
. - O que é pedido: encontrar a solução geral
que satisfaça essa equação (ou seja, a família de todas as soluções com duas constantes arbitrárias).
Passo 2
Estratégia inicial (método padrão): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma técnica muito usada é tentar uma solução do tipo exponencial. Ou seja, suponho uma solução da forma
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Essa suposição funciona porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
.
Passo 3
Substituo
na equação
. As derivadas são
e
. Substituindo:
Como
para todo
, posso dividir por
e obter a equação característica (algébrica):
Passo 4
Resolver a equação característica:
onde
é a unidade imaginária (
). Ou seja, os dois raízes são complexas conjugadas
e
.
Passo 5
Interpretação das raízes complexas e forma real da solução: quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas
, a solução geral real da equação diferencial é
onde
e
são constantes reais arbitrárias. No nosso caso
e
, porque
. Logo a solução geral real é
com
.
Explicação rápida (por que isso acontece): das raízes
vem as soluções complexas
e
. Usando a fórmula de Euler
pode-se combinar
e
para obter as funções reais
e
, que formam a base real das soluções.
Passo 6
Verificação direta (para fixar e ganhar confiança): vou derivar a solução encontrada e confirmar que ela satisfaz a equação diferencial. Seja
As derivadas são
Logo
confirmando que a forma encontrada é realmente solução.
Passo 7
Interpretação física/intuitiva (opcional, para lembrar na prova): a equação
é a equação de um oscilador harmônico simples sem amortecimento, com frequência angular
. As constantes
e
são determinadas por condições iniciais (valores de
e
, por exemplo). Se preferir, a solução também pode ser escrita em forma de amplitude e fase:
onde
e
.
Passo 8
Como determinar
e
a partir de condições iniciais (receita prática para a prova): se forem dadas
e
, então
Assim basta substituir para obter a solução particular.