Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial homogênea de ordem três
e pede a solução geral
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- É uma equação linear homogênea com coeficientes constantes.
- A ordem é
, logo a solução geral terá três constantes arbitrárias.
Passo 2
Método clássico: procurar soluções do tipo
.
Por que isso? Porque derivando uma exponencial obtemos múltiplos da própria exponencial, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica em .
Por que isso? Porque derivando uma exponencial obtemos múltiplos da própria exponencial, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica em
Calcule as derivadas de
:
Substituindo na equação dada:
Fatorando
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 3
Resolver o polinômio característico
.
Tentamos raízes racionais (divisores de
):
. Testando
:
logo
é raiz. Então
é fator. Fazemos a divisão do polinômio por
(divisão sintética ou algébrica):
Coeficientes:
.
Divisão sintética com
:
O quociente é
. Assim
Factorizando o quadrático:
Portanto as raízes são
todas reais e distintas.
Passo 4
Regra para coeficientes constantes (caso de raízes reais e distintas): cada raiz
gera um termo
na solução geral, onde
são constantes arbitrárias. Como temos três raízes distintas, a solução geral é a combinação linear das três exponenciais correspondentes.
Assim a solução geral é
onde
são constantes reais arbitrárias.
Observação breve (útil para a prova): se alguma raiz fosse de multiplicidade
, os termos associados seriam
. Se surgissem raízes complexas conjugadas
, os termos se escreveriam como
e
.