Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-12 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial homogênea de ordem três
y^{\prime\prime\prime}+3y^{\prime\prime}-4y^{\prime}-12y=0,
e pede a solução geral y(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • É uma equação linear homogênea com coeficientes constantes.
  • A ordem é 3, logo a solução geral terá três constantes arbitrárias.

Passo 2

Método clássico: procurar soluções do tipo \;y=e^{rx}\;.
Por que isso? Porque derivando uma exponencial obtemos múltiplos da própria exponencial, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica em r.
Calcule as derivadas de y=e^{rx}:
y'=r e^{rx},\qquad y''=r^{2} e^{rx},\qquad y'''=r^{3} e^{rx}.
Substituindo na equação dada:
r^{3}e^{rx}+3r^{2}e^{rx}-4r e^{rx}-12e^{rx}=0.
Fatorando e^{rx} (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
r^{3}+3r^{2}-4r-12=0.

Passo 3

Resolver o polinômio característico \;r^{3}+3r^{2}-4r-12=0\;.
Tentamos raízes racionais (divisores de 12): \pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12. Testando r=2:
2^{3}+3\cdot2^{2}-4\cdot2-12 = 8+12-8-12=0,
logo r=2 é raiz. Então (r-2) é fator. Fazemos a divisão do polinômio por (r-2) (divisão sintética ou algébrica):
Coeficientes: 1,\;3,\;-4,\;-12.
Divisão sintética com 2:
\begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & 3 & -4 & -12\\\ & & 2 & 10 & 12\\hline & 1 & 5 & 6 & 0 \end{array}
O quociente é r^{2}+5r+6. Assim
r^{3}+3r^{2}-4r-12=(r-2)(r^{2}+5r+6).
Factorizando o quadrático:
r^{2}+5r+6=(r+2)(r+3).
Portanto as raízes são
r=2,\quad r=-2,\quad r=-3,
todas reais e distintas.

Passo 4

Regra para coeficientes constantes (caso de raízes reais e distintas): cada raiz r_i gera um termo C_i e^{r_i x} na solução geral, onde C_i são constantes arbitrárias. Como temos três raízes distintas, a solução geral é a combinação linear das três exponenciais correspondentes.
Assim a solução geral é
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}+C_{3}e^{-3x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes reais arbitrárias.
Observação breve (útil para a prova): se alguma raiz fosse de multiplicidade m>1, os termos associados seriam e^{rx},\;x e^{rx},\;x^{2}e^{rx},\dots,x^{m-1}e^{rx}. Se surgissem raízes complexas conjugadas a\pm ib, os termos se escreveriam como e^{ax}\cos(bx) e e^{ax}\sin(bx).

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}+C_{3}e^{-3x}

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