Resolva o problema de valor de contorno dado.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e duas condições de contorno:
com
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições de contorno dadas.
Passo 2
Explicando a ideia para resolver (passo-a-passo didático).
Para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes da forma
Para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes da forma
procura-se uma solução do tipo
. Substituindo isso na equação obtém-se a equação algébrica chamada equação característica:
As raízes
dessa equação determinam a forma geral da solução:
- Se as raízes
e são distintas reais, a solução geral é . - Se há uma raiz real
de multiplicidade (raiz dupla), a solução geral é
Aqui
e
são constantes arbitrárias que serão fixadas pelas condições de contorno. Essas fórmulas vêm de analisar soluções independentes: quando a raiz é dupla, a segunda solução independente é
.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: escrevemos a equação característica correspondente à equação dada:
Vamos resolver essa equação quadrática. O discriminante é
Como
, a equação tem uma raiz real dupla. A raiz é
Passo 4
Como a raiz
tem multiplicidade
, pela regra do passo 2 a solução geral da equação diferencial é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições de contorno.
Passo 5
Usar a condição
. Substituindo
em
:
Portanto
Passo 6
Usar a condição
. Substituindo
em
e usando
:
Como
, para que
precisamos de
Passo 7
Assim as constantes são
e
. A solução particular que satisfaz as duas condições é
Como verificação rápida (opcional mas instrutiva): para a forma geral
pode-se calcular
e substituir na equação
para ver que dá zero identicamente (os termos cancelam), confirmando que a forma é solução da equação homogênea. Substitindo
,
obtemos a solução final acima que também satisfaz as condições de contorno.