Resolva o problema de valor de contorno dado.
y^{\prime \prime}-10 y^{\prime}+25 y=0, y(0)=1, y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e duas condições de contorno:
y''-10y'+25y=0,
com
y(0)=1,\qquad y(1)=0.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições de contorno dadas.

Passo 2

Explicando a ideia para resolver (passo-a-passo didático).
Para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes da forma
y''+a_1 y'+a_0 y=0,
procura-se uma solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo isso na equação obtém-se a equação algébrica chamada equação característica:
r^2 + a_1 r + a_0 = 0.
As raízes r dessa equação determinam a forma geral da solução:
  • Se as raízes r_1 e r_2 são distintas reais, a solução geral é y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}.
  • Se há uma raiz real r de multiplicidade 2 (raiz dupla), a solução geral é
y=(C_1 + C_2 x)e^{r x}.
Aqui C_1 e C_2 são constantes arbitrárias que serão fixadas pelas condições de contorno. Essas fórmulas vêm de analisar soluções independentes: quando a raiz é dupla, a segunda solução independente é x e^{r x}.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: escrevemos a equação característica correspondente à equação dada:
r^2 -10r +25 = 0.
Vamos resolver essa equação quadrática. O discriminante é
\Delta = (-10)^2 - 4\cdot1\cdot25 = 100 - 100 = 0.
Como \Delta=0, a equação tem uma raiz real dupla. A raiz é
r = \frac{10}{2} = 5.

Passo 4

Como a raiz r=5 tem multiplicidade 2, pela regra do passo 2 a solução geral da equação diferencial é
y(x) = \big(C_1 + C_2 x\big) e^{5x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições de contorno.

Passo 5

Usar a condição y(0)=1. Substituindo x=0 em y(x):
y(0)=\big(C_1 + C_2\cdot 0\big)e^{5\cdot 0}=C_1\cdot 1 = C_1.
Portanto
C_1 = 1.

Passo 6

Usar a condição y(1)=0. Substituindo x=1 em y(x) e usando C_1=1:
y(1)=\big(1 + C_2\cdot 1\big)e^{5\cdot 1}=(1 + C_2)e^{5}.
Como e^{5}\neq 0, para que y(1)=0 precisamos de
1 + C_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_2 = -1.

Passo 7

Assim as constantes são C_1=1 e C_2=-1. A solução particular que satisfaz as duas condições é
y(x)=\big(1 - x\big)e^{5x}.
Como verificação rápida (opcional mas instrutiva): para a forma geral y=(C_1+C_2 x)e^{5x} pode-se calcular
y'=(C_2+5(C_1+C_2 x))e^{5x},\qquad y''=(10C_2+25(C_1+C_2 x))e^{5x},
e substituir na equação y''-10y'+25y para ver que dá zero identicamente (os termos cancelam), confirmando que a forma é solução da equação homogênea. Substitindo C_1=1, C_2=-1 obtemos a solução final acima que também satisfaz as condições de contorno.

Resposta

y(x)=(1 - x)e^{5x}

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