Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem linear e homogênea com coeficientes constantes
y'' - y' - 6y = 0.
O conteúdo envolvido é o método do polinômio característico: assumimos uma solução da forma y=e^{rx} e depois encontramos as raízes do polinômio característico.

Passo 2

Substituindo y=e^{rx} na equação y'' - y' - 6y=0, obtemos
r^2e^{rx} - r e^{rx} - 6e^{rx} = 0
e como e^{rx}\neq0, o fator comum se anula ao dividirmos por e^{rx}, restando o polinômio característico
r^2 - r - 6 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação
r^2 - r - 6 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara ou fatoramos diretamente:
r^2 - r - 6 = (r - 3)(r + 2) = 0
logo as raízes são
r_1 = 3 \quad\text{e}\quad r_2 = -2.

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é dada pela combinação linear das soluções fundamentais e^{r_1 x} e e^{r_2 x}. Assim,
y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Resposta

y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-2x}.

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