\star \star \star 20. Calcule:
\iint_{D}(x-2 y+18) d A
Sendo D a região descrita por D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid(x-2 y+3)^{2}+(3 x+4 y-1)^{2} \leq 100\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a integral
\iint_{D}(x-2y+18)\,dA
onde D é a região em \mathbb{R}^2 dada por
(x-2y+3)^{2} + (3x+4y-1)^{2} \le 100.
O conteúdo envolve mudança linear de variáveis para transformar D num disco, uso do jacobiano e simetria de domínio.

Passo 2

Definimos a substituição linear
u = x - 2y + 3, \quad v = 3x + 4y - 1.
Em forma matricial,
\begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3\\\ -1\end{pmatrix}.
O determinante da parte linear é
\det \begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ 3 & 4 \end{pmatrix} =1\cdot4 - (-2)\cdot3 =4+6 = 10.
Logo
du\,dv = \bigl|\det A\bigr|\,dx\,dy = 10\,dx\,dy \quad\Longrightarrow\quad dx\,dy = \frac{1}{10}\,du\,dv.
Além disso, a região D em (x,y) vira o disco
u^{2}+v^{2}\le100.

Passo 3

Precisamos também reescrever o integrando. Observamos que
x-2y = u - 3,
portanto
x - 2y + 18 = (u - 3) + 18 = u + 15.
Assim a integral torna-se
\iint_{D}(x-2y+18)\,dx\,dy = \iint_{u^{2}+v^{2}\le100}(u+15)\,\frac{1}{10}\,du\,dv = \frac{1}{10} \iint_{u^{2}+v^{2}\le100}(u+15)\,du\,dv.

Passo 4

Separamos em duas integrais:
\frac{1}{10} \Biggl[ \iint_{u^{2}+v^{2}\le100}u\,du\,dv + 15 \iint_{u^{2}+v^{2}\le100}1\,du\,dv \Biggr].
Por simetria, \iint u\,du\,dv=0 num disco centrado na origem. E
\iint_{u^{2}+v^{2}\le100}1\,du\,dv =\text{área do disco de raio }10 = \pi\cdot10^{2}=100\pi.á
Logo
\iint_{D}(x-2y+18)\,dA = \frac{1}{10}\bigl[0 + 15\cdot100\pi\bigr] = \frac{1500\pi}{10} =150\pi.

Resposta

150\pi

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