Determine a solução geral da equação diferencial de terceira ordem.
y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-12 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' + 3y'' - 4y' - 12y = 0.
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Associamos à equação diferencial o polinômio característico
r^3 + 3r^2 - 4r - 12 = 0.

Passo 3

Fatoramos o polinômio por agrupamento:
r^3 + 3r^2 - 4r - 12 = r^2(r+3) - 4(r+3) = (r+3)\bigl(r^2 - 4\bigr).
Em seguida, notamos que
r^2 - 4 = (r-2)(r+2),
de modo que
r^3 + 3r^2 - 4r - 12 = (r+3)(r-2)(r+2).

Passo 4

As raízes do polinômio característico são
r = -3,\quad r = 2,\quad r = -2.
Como são todas distintas, cada uma gera uma solução exponencial independente.

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é a combinação linear das exponenciais correspondentes às raízes:
y(x) = C_1 e^{-3x} + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-2x},
onde C_1, C_2 e C_3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_1 e^{-3x} + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-2x}.

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