Determine a solução geral da equação diferencial de terceira ordem.
y^{\prime \prime \prime}-y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y^{\prime\prime\prime}-y=0.
O método padrão é escrever a equação característica associada e encontrar suas raízes.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo na EDO, obtemos a equação característica
r^3 - 1 = 0.

Passo 3

Resolvendo r^3=1, temos as três raízes da unidade:
r_1 = 1, \quad r_{2,3} = -\tfrac12 \pm \mathrm{i}\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Como são raízes distintas, a solução geral em termos de exponenciais é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x} = C_1 e^{x} + C_2 e^{\bigl(-\tfrac12 + \mathrm{i}\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)x} + C_3 e^{\bigl(-\tfrac12 - \mathrm{i}\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)x}.

Passo 5

Usando a forma real das soluções complexas via fórmula de Euler, agrupamos em cosseno e seno:
e^{\bigl(-\tfrac12 \pm \mathrm{i}\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)x} = e^{-x/2}\Bigl(\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)\pm \mathrm{i}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)\Bigr).
Definindo novas constantes A e B, a parte real fica
e^{-x/2}\bigl(A\cos(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x)+B\sin(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x)\bigr).

Resposta

y(x) = C_1 e^{x} \;+\; e^{-x/2}\Bigl(C_2\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)+C_3\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)\Bigr),
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.

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