Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
4 y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
4y'' + y' = 0.
Trata-se de uma equação linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Associamos à equação diferencial o polinômio característico
4r^2 + r = 0.
Fatorando, temos
r\,(4r + 1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = 0 \quad\text{ou}\quad r = -\tfrac{1}{4}.

Passo 3

Como as raízes r_1=0 e r_2=-\tfrac{1}{4} são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} = C_1 e^{0\cdot x} + C_2 e^{-\tfrac{x}{4}} = C_1 + C_2 e^{-\tfrac{x}{4}}.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_1 + C_2 e^{-\tfrac{x}{4}},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados