Calcule a integral tripla.
, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla sobre uma região $ E $. A integral é:
Onde a região $ E $ é definida por:
Matéria envolvida: Cálculo de integrais triplas em coordenadas cartesianas.
O que vamos precisar: Saber como definir os limites de integração para cada variável e como integrar funções passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração $ E $. As desigualdades nos dizem que:
- $ y $ varia de 0 a 1.
- Para cada valor de $ y $, $ x $ varia de $ y $ até 1.
- Para cada par $ (x, y) $, $ z $ varia de 0 até $ x y $.
Então, nosso intervalo de integração é:
Passo 3
Vamos configurar a integral tripla com esses limites:
Teoria aplicada: Vamos integrar primeiro em relação a $ z $, depois a $ x $ e finalmente a $ y $.
Passo 4
Vamos começar integrando com respeito a $ z $:
Para integrar $ e^{z / y} $ em relação a $ z $, fazemos uma substituição simples. Seja $ u = z / y $, então $ du = dz / y $ ou $ dz = y , du $.
Portanto:
Aplicando os limites de 0 a $ x y $:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integração com respeito a $ z $ na integral dupla:
Podemos fatorar o $ y $:
Passo 6
Vamos integrar com respeito a $ x $:
Integrando cada parte:
Então,
Passo 7
Substituindo de volta na integral com respeito a $ y $:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 8
- Primeira integral:
- Segunda integral (por partes):
Usando integração por partes, onde $ u = y $ e $ dv = e^{y} , dy $:
Então,
Aplicando os limites de 0 a 1:
- Terceira integral:
- Quarta integral:
Passo 9
Agora, juntando tudo:
Para combinar os termos, vamos usar denominadores comuns:
Resposta
A integral tripla vale: