Calcule a integral tripla.
integral duplaE e^z / y d V, onde
E=(x, y, z) mid 0 <= y <= 1, y <= x <= 1,0 <= z <= x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla sobre uma região $ E $. A integral é:
E
Onde a região $ E $ é definida por:
integral triplaE e^z / y , dV
Matéria envolvida: Cálculo de integrais triplas em coordenadas cartesianas.
O que vamos precisar: Saber como definir os limites de integração para cada variável e como integrar funções passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração $ E $. As desigualdades nos dizem que:
  • $ y $ varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de $ y $, $ x $ varia de $ y $ até 1.
  • Para cada par $ (x, y) $, $ z $ varia de 0 até $ x y $.
Então, nosso intervalo de integração é:
E

Passo 3

Vamos configurar a integral tripla com esses limites:
integral triplaE e^z / y , dV = integral0^1 integraly^1 integral0^x y e^z / y , dz , dx , dy
Teoria aplicada: Vamos integrar primeiro em relação a $ z $, depois a $ x $ e finalmente a $ y $.

Passo 4

Vamos começar integrando com respeito a $ z $:
z
Para integrar $ e^{z / y} $ em relação a $ z $, fazemos uma substituição simples. Seja $ u = z / y $, então $ du = dz / y $ ou $ dz = y , du $.
Portanto:
integral0^x y e^z / y , dz
Aplicando os limites de 0 a $ x y $:
e^z / y

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integração com respeito a $ z $ na integral dupla:
z
Podemos fatorar o $ y $:
integral0^1 integraly^1 (y e^x - y) , dx , dy

Passo 6

Vamos integrar com respeito a $ x $:
x
Integrando cada parte:
integraly^1 (e^x - 1) , dx = integraly^1 e^x , dx - integraly^1 1 , dx
integraly^1 e^x , dx = e^x |y^1 = e^1 - e^y = e - e^y
Então,
integraly^1 1 , dx = x |y^1 = 1 - y

Passo 7

Substituindo de volta na integral com respeito a $ y $:
y
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 8

  1. Primeira integral:
integral0^1 y e , dy = e integral0^1 y , dy = e [ y^22 ]0^1 = e cdot 12 = e2
  1. Segunda integral (por partes):
integral y e^y , dy
Usando integração por partes, onde $ u = y $ e $ dv = e^{y} , dy $:
u = y
Então,
dv = e^y , dy
Aplicando os limites de 0 a 1:
du = dy, v = e^y
  1. Terceira integral:
integral y e^y , dy = y e^y - integral e^y , dy = y e^y - e^y + C
  1. Quarta integral:
[ y e^y - e^y ]0^1 = (1 cdot e^1 - e^1) - (0 - e^0) = (e - e) - (-1) = 1

Passo 9

Agora, juntando tudo:
e2 - 1 - 12 + 13 = e2 - 32 + 13
Para combinar os termos, vamos usar denominadores comuns:
e2 - 96 + 26 = e2 - 76

Resposta

A integral tripla vale:
e2 - 76

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