Determine a solução geral da equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos é resolver a equação diferencial
onde $ y^{\prime} = \frac{dy}{dx} $. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente aquelas que podem ser resolvidas separando as variáveis. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação de forma que todas as expressões com $ y $ fiquem de um lado e as com $ x $ do outro, permitindo integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis $ y $ e $ x $. Começamos dividindo ambos os lados por $ y $ e multiplicando por $ dx $:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, queremos isolar as variáveis. Vamos dividir ambos os lados por $ (y + 1)^2 $ e por $ (1 - x) $ para obter:
Dessa forma, conseguimos separar as variáveis $ y $ e $ x $ em lados opostos da equação.
Passo 4
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Para resolver isso, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar $ u = y + 1 $, então $ du = dy $ e $ y = u - 1 $. Substituindo na integral:
Voltando para $ y $:
Passo 5
Agora, vamos integrar o lado direito da equação:
Essa é uma integral direta que resulta em:
Juntando as duas integrais, temos:
Passo 6
Finalmente, podemos reorganizar a expressão para deixar a solução mais clara. Podemos combinar as constantes de integração em um único $ C $:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde $ C $ é uma constante arbitrária.