Determine a solução geral da equação diferencial:
(y-y x) y^prime=(y+1)^2
onde y^prime=d yd x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos é resolver a equação diferencial
(y - yx) y^prime = (y + 1)^2
onde $ y^{\prime} = \frac{dy}{dx} $. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente aquelas que podem ser resolvidas separando as variáveis. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação de forma que todas as expressões com $ y $ fiquem de um lado e as com $ x $ do outro, permitindo integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis $ y $ e $ x $. Começamos dividindo ambos os lados por $ y $ e multiplicando por $ dx $:
y
Isso simplifica para:
x

Passo 3

Agora, queremos isolar as variáveis. Vamos dividir ambos os lados por $ (y + 1)^2 $ e por $ (1 - x) $ para obter:
(y + 1)^2
Dessa forma, conseguimos separar as variáveis $ y $ e $ x $ em lados opostos da equação.

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, a integral do lado esquerdo:
integral y(y + 1)^2 dy
Para resolver isso, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar $ u = y + 1 $, então $ du = dy $ e $ y = u - 1 $. Substituindo na integral:
u = y + 1
Voltando para $ y $:
du = dy

Passo 5

Agora, vamos integrar o lado direito da equação:
integral dx1 - x
Essa é uma integral direta que resulta em:
-ln|1 - x| + C
Juntando as duas integrais, temos:
ln(y + 1) + 1y + 1 = -ln(1 - x) + C

Passo 6

Finalmente, podemos reorganizar a expressão para deixar a solução mais clara. Podemos combinar as constantes de integração em um único $ C $:
C
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
ln(y + 1) + 1y + 1 + ln(1 - x) = C
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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