Resolva as inequações:
x^3+3 x^2-4 x-12 <= 0

Passo 1

Temos a inequação x^3 + 3x^2 - 4x - 12 <= 0. O conteúdo aqui é resolução de inequações polinomiais de grau 3 usando fatoração e estudo de sinal; vamos precisar fatorar o polinômio e analisar o sinal do produto.

Passo 2

Para fatorar, use agrupamento: separamos em x^2(x+3) - 4(x+3), assim
x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = (x+3)(x^2 - 4) = (x+3)(x-2)(x+2)

Passo 3

As raízes do polinômio são os valores que tornam cada fator zero, ou seja, x = -3,,-2,,2. Esses pontos dividem a reta em quatro intervalos.

Passo 4

Agora fazemos o estudo de sinal de (x+3)(x-2)(x+2) em cada intervalo:
  • Em -3: três fatores negativos ⇒ produto negativo. Incluímos (-3,-2) pois torna zero.
  • Em (-2,2): um fator positivo e dois negativos ⇒ produto positivo. Excluímos esse intervalo.
  • Em (2,nablafty): um fator negativo e dois positivos ⇒ produto negativo.
  • Em : três fatores positivos ⇒ produto positivo.

Passo 5

Logo, a expressão é <=0 quando x<=-3 ou -2<= x<=2.

Resposta

A solução da inequação é xin(-infty,-3]cup[-2,2].

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