Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente a cada instante de termpa. Sabe-se que, inicialmente, há 200 de cultura e que, após 16 minutos, cresceu
.
Deduza a equação diferencial satisfeita pela população de bactérias e escreva o problema de valor inicial correspondente. Explique seu raciocínio.
Deduza a equação diferencial satisfeita pela população de bactérias e escreva o problema de valor inicial correspondente. Explique seu raciocínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o crescimento de uma cultura de bactérias que aumenta de forma proporcional à quantidade presente em cada instante de tempo. Ou seja, a taxa de crescimento depende diretamente da quantidade de bactérias que já temos. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais para modelar esse crescimento e também aplicar o problema de valor inicial para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir a ideia de que a taxa de crescimento é proporcional à quantidade presente. Isso significa que a derivada da população em relação ao tempo, ou seja, $ \frac{dP}{dt} $, é igual a uma constante $ k $ multiplicada pela população $ P $. Em termos matemáticos, isso fica:
Aqui, $ k $ é a constante de proporcionalidade que vamos precisar determinar.
Passo 3
Agora, vamos usar a informação inicial que temos: no tempo $ t = 0 $, a população de bactérias é 200. Isso nos dá a condição inicial:
Essa é a primeira parte do problema de valor inicial que estamos montando.
Passo 4
Sabemos também que, após 16 minutos, a população cresceu 12%. Então, no tempo $ t = 16 $, a população é:
Vamos usar essa informação para encontrar o valor da constante $ k $. Primeiro, resolvemos a equação diferencial:
A solução geral para essa equação é:
Substituindo $ P(16) = 224 $ e $ P(0) = 200 $:
Dividindo ambos os lados por 200:
Agora, aplicamos o logaritmo natural para resolver para $ k $:
Calculando isso dá o valor de $ k $.
Resposta
A equação diferencial que descreve a população de bactérias é:
e o problema de valor inicial correspondente é: