A função arco-seno, denotada por
, é a inversa da função seno quando restrita ao intervalo
. De maneira análoga temos a função arco-cosseno,
, inversa da função cosseno restrita ao intervalo
e a função arco-tangente,
, inversa da tangente restrita ao intervalo
.
Obtenha fórmulas independentes de funções trigonométricas para
bem como para sec
.
Obtenha fórmulas independentes de funções trigonométricas para
Passo 1
O enunciado pede para encontrar expressões algébricas (sem funções trigonométricas) para
,
e
. Estamos lidando com funções trigonométricas inversas e vamos usar triângulos retângulos e o Teorema de Pitágoras para isso.
Passo 2
Para
definimos
. Dessa definição temos
, ou seja, num triângulo retângulo escolhemos cateto oposto =
e hipotenusa = 1. Pelo Teorema de Pitágoras o cateto adjacente vale
. Como
,
é não-negativo, logo
Passo 3
Para
definimos
. Então
, num triângulo escolhemos cateto adjacente =
e hipotenusa = 1. O cateto oposto vale
. Como
,
é não-negativo, logo
Passo 4
Para
definimos
. Assim
, escolhemos cateto oposto =
e cateto adjacente = 1. A hipotenusa vale
. Como
,
. Assim
Resposta
As fórmulas encontradas são:
,
e
.