A função arco-seno, denotada por f(x)=arcsin x, é a inversa da função seno quando restrita ao intervalo [-pi / 2, pi / 2]. De maneira análoga temos a função arco-cosseno, f(x)=arccos x, inversa da função cosseno restrita ao intervalo [0, pi] e a função arco-tangente, f(x)=arctan x, inversa da tangente restrita ao intervalo ]-pi / 2, pi / 2[.
Obtenha fórmulas independentes de funções trigonométricas para cos (arcsin x), sin (arccos x) bem como para sec (arctan x).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar expressões algébricas (sem funções trigonométricas) para cos(arcsin x), sin(arccos x) e sec(arctan x). Estamos lidando com funções trigonométricas inversas e vamos usar triângulos retângulos e o Teorema de Pitágoras para isso.

Passo 2

Para cos(arcsin x) definimos theta = arcsin x. Dessa definição temos sintheta = x, ou seja, num triângulo retângulo escolhemos cateto oposto = x e hipotenusa = 1. Pelo Teorema de Pitágoras o cateto adjacente vale raiz1 - x^2. Como thetain[-pi/2,pi/2], costheta é não-negativo, logo
cos(arcsin x)=costheta=raiz1 - x^2

Passo 3

Para sin(arccos x) definimos phi = arccos x. Então cosphi = x, num triângulo escolhemos cateto adjacente = x e hipotenusa = 1. O cateto oposto vale raiz1 - x^2. Como phiin[0,pi], sinphi é não-negativo, logo
sin(arccos x)=sinphi=raiz1 - x^2

Passo 4

Para sec(arctan x) definimos psi = arctan x. Assim tanpsi = x, escolhemos cateto oposto = x e cateto adjacente = 1. A hipotenusa vale raiz1 + x^2. Como psiin(-pi/2,pi/2), cospsi>0. Assim
sec(arctan x)=1cospsi=raiz1 + x^21=raiz1 + x^2

Resposta

As fórmulas encontradas são: cos(arcsin x)=raiz1 - x^2, sin(arccos x)=raiz1 - x^2 e sec(arctan x)=raiz1 + x^2.

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