Determine a solução geral das equações abaixo usando o método da variação dos parâmetros (repare
que o método dos coeficientes indeterminados também é aplicável nesses casos): ;
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação
usando o método da variação de parâmetros. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para aplicar variação de parâmetros, precisamos primeiro achar a solução geral da homogênea associada e seu Wronskiano.
Passo 2
A equação homogênea é
A equação característica é , cujas raízes são . Logo, duas soluções lineares independentes são
O Wronskiano dessas soluções vale
Passo 3
No método da variação de parâmetros, buscamos
yp = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t),
onde
u1' = -g(t),y2W, u2' = g(t),y1W,
com g(t)=t. Assim,
u1'(t) = -t,sin(2t)2, u2'(t) = t,cos(2t)2
Passo 4
Calculamos u1(t) por integração por partes em
u1'(t) = -t2sin(2t)
Faça a=t, db=sin(2t),dt, então da=dt, b=-cos(2t)2. Obtemos
integral tsin(2t),dt = -tcos(2t)2 + integral cos(2t)2,dt = -tcos(2t)2 + sin(2t)4