Determine a solução geral das equações abaixo usando o método da variação dos parâmetros (repare
que o método dos coeficientes indeterminados também é aplicável nesses casos):
y^prime prime+4 y=t;

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y'' + 4y = t
usando o método da variação de parâmetros. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para aplicar variação de parâmetros, precisamos primeiro achar a solução geral da homogênea associada e seu Wronskiano.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + 4y = 0
A equação característica é r^2 + 4 = 0, cujas raízes são r = pm 2i. Logo, duas soluções lineares independentes são
y1(t) = cos(2t), y2(t) = sin(2t)
O Wronskiano dessas soluções vale
W(y1,y2)(t) = cos(2t) & sin(2t) -2sin(2t) & 2cos(2t) = 2l(cos^2(2t)+sin^2(2t)r)=2

Passo 3

No método da variação de parâmetros, buscamos
yp = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t),
onde
u1' = -g(t),y2W, u2' = g(t),y1W,
com g(t)=t. Assim,
u1'(t) = -t,sin(2t)2, u2'(t) = t,cos(2t)2

Passo 4

Calculamos u1(t) por integração por partes em
u1'(t) = -t2sin(2t)
Faça a=t, db=sin(2t),dt, então da=dt, b=-cos(2t)2. Obtemos
integral tsin(2t),dt = -tcos(2t)2 + integral cos(2t)2,dt = -tcos(2t)2 + sin(2t)4
Logo
u1(t) = integral u1'(t),dt = -12l(-tfractcos(2t)2 + tfracsin(2t)4r) = tcos(2t)4 - sin(2t)8

Passo 5

De modo análogo, integramos
u2'(t) = t2cos(2t)
Com a=t, db=cos(2t),dt, da=dt, b=sin(2t)2, obtemos
integral tcos(2t),dt = tsin(2t)2 - integral sin(2t)2,dt = tsin(2t)2 + cos(2t)4
Assim
u2(t) = integral u2'(t),dt = 12l(tfractsin(2t)2 + tfraccos(2t)4r) = tsin(2t)4 + cos(2t)8

Passo 6

O particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = l(tcos(2t)4-sin(2t)8r)cos(2t) + l(tsin(2t)4+cos(2t)8r)sin(2t)
Ao desenvolver e usar cos^2+sin^2=1, todos os termos oscilatórios se cancelam, restando
yp(t) = t4

Passo 7

A solução geral é a soma da homogênea com o particular:
y(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t) + t4

Resposta

y(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t) + t4

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