Ache todos os números reais que satisfazem a desigualdade. Expresse a solução com a notação de intervalos e represente-as na reta dos reais.
31-x <= 1

Passo 1

Resumindo, queremos resolver a desigualdade racional
31 - x <= 1
O conteúdo aqui é análise de sinal de uma fração. Vamos passar tudo para um único lado, combinar em denominador comum e estudar onde esse quociente é não-positivo.

Passo 2

Subtraindo 1 de ambos os lados e juntando em único quociente, temos
31 - x - 1 <= 0 Longrightarrow 3 - (1 - x)1 - x <= 0 Longrightarrow x + 21 - x <= 0

Passo 3

Identificamos as “críticas”:
  • Zero do numerador em x + 2 = 0, ou seja, x = -2.
  • Zero do denominador em 1 - x = 0, ou seja, x = 1 (onde a expressão não está definida).
Esses pontos particionam a reta em três intervalos: (-infty,-2), (-2,1) e (1,infty).

Passo 4

Analisando o sinal de x+21-x:
  1. Para x<-2: x+2<0 e 1-x>0, logo quociente <0. Satisfaz.
  2. Em x=-2: numerador =0 e denominador >0, dá 0<=0. Incluímos.
  3. Para -2<x<1: numerador >0, denominador >0, quociente >0. Não satisfaz.
  4. Para x>1: numerador >0, denominador <0, quociente <0. Satisfaz.
  5. x=1 fica excluído (denominador zero).
Portanto a solução é
(-infty,,-2] ;cup;(1,,infty)

Resposta

(-infty,,-2];cup;(1,,infty)
Na reta dos reais, representa-se com ponto fechado em -2 e seta para a esquerda, e ponto aberto em 1 com seta para a direita.

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