Exercício 1 )
Prove pelo emprego direto da definição de limite (
e
)
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando diretamente a definição de limite em
, que a função
satisfaz
Vamos lembrar a definição: dado
, devemos encontrar um
tal que, sempre que
tenha-se
.
Passo 2
Começamos estimando a diferença
Pelo triângulo e pela homogeneidade, obtemos
Passo 3
Note que, para qualquer ponto
(x,y) ,
Logo, se denotarmos
r=raiz(x-2)^2+(y-1)^2 , temos
Assim,
Passo 4
Para garantir
l|f(x,y)-13r|<varepsilon , basta exigir
ou seja
Portanto, dado
varepsilon>0 , escolhemos
Então, sempre que
segue
Resposta
Escolhendo
de<a=varepsilon/8 , satisfazemos a definição de limite em
R^2 e, portanto,