Exercício 1 )

Prove pelo emprego direto da definição de limite ( epsilon e de<a )
lim (x, y) (2,1) 5 x+3 y=13

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando diretamente a definição de limite em R^2, que a função
f(x,y)=5x+3y
satisfaz
lim(x,y)to(2,1)f(x,y)=13
Vamos lembrar a definição: dado varepsilon>0, devemos encontrar um de<a>0 tal que, sempre que
0<raiz(x-2)^2+(y-1)^2<de<a,
tenha-se l|f(x,y)-13r|<varepsilon.

Passo 2

Começamos estimando a diferença
l|f(x,y)-13r| =l|5x+3y-13r| =l|5(x-2)+3(y-1)r|
Pelo triângulo e pela homogeneidade, obtemos
l|5(x-2)+3(y-1)r| <= 5,|x-2|+3,|y-1|

Passo 3

Note que, para qualquer ponto (x,y),
|x-2|<= raiz(x-2)^2+(y-1)^2, |y-1|<= raiz(x-2)^2+(y-1)^2
Logo, se denotarmos r=raiz(x-2)^2+(y-1)^2, temos
5,|x-2|+3,|y-1|<= (5+3),r=8,r
Assim,
l|f(x,y)-13r|<= 8,raiz(x-2)^2+(y-1)^2

Passo 4

Para garantir l|f(x,y)-13r|<varepsilon, basta exigir
8,raiz(x-2)^2+(y-1)^2<varepsilon,
ou seja
raiz(x-2)^2+(y-1)^2<varepsilon8
Portanto, dado varepsilon>0, escolhemos
de<a = varepsilon8
Então, sempre que
0<raiz(x-2)^2+(y-1)^2<de<a,
segue
l|f(x,y)-13r|<= 8,raiz(x-2)^2+(y-1)^2<8cdotvarepsilon8=varepsilon

Resposta

Escolhendo de<a=varepsilon/8, satisfazemos a definição de limite em R^2 e, portanto,
lim(x,y)to(2,1)5x+3y=13

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