Determine a solução geral das equações: ddoty-doty-2 y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
ddoty - doty - 2y = 0
Primeiro, vamos entender do que se trata. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. O nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, que inclui todas as possíveis soluções.

Passo 2

Para resolver esse tipo de equação, a gente começa assumindo que a solução tem a forma , onde é uma constante que a gente precisa descobrir. Essa suposição nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos derivar doty = r e^rt para encontrar ddoty = r^2 e^rt e :

Passo 4

Substituindo r^2 e^rt - r e^rt - 2 e^rt = 0 , e^rt (r^2 - r - 2) = 0 e r^2 - r - 2 = 0 na equação original, temos:
Podemos fatorar (que nunca é zero) e simplificar:
Como , fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r^2 - r - 2 = 0 . A equação é:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Onde r1 = 2 e r2 = -1 , , e . Substituindo:
Então, temos duas soluções para :

Passo 6

Com os valores de y(t) = C1 e^2t + C2 e^-t encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é:
Onde e são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação é:
y(t) = C1 e^2t + C2 e^-t

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