Determine a solução geral das equações:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Primeiro, vamos entender do que se trata. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. O nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, que inclui todas as possíveis soluções.
Passo 2
Para resolver esse tipo de equação, a gente começa assumindo que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que a gente precisa descobrir. Essa suposição nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, vamos derivar
para encontrar
e
:
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação original, temos:
Podemos fatorar
(que nunca é zero) e simplificar:
Como
, fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. A equação é:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
. Substituindo:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 6
Com os valores de
encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação é: