Sabendo-se que a função
é diferenciável em todo ponto
, é possível concluir que:
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
E pede uma condição sobre A e B para que f seja diferenciável em todo
. Vamos usar os conceitos de continuidade e igualdade de derivadas no ponto de transição
.
Passo 2
Para garantir continuidade em
precisamos de
Calculando cada lado:
Logo, igualando:
, ou seja,
Passo 3
Para garantir a derivabilidade em
igualamos as derivadas laterais. Para
:
logo
Para
:
logo
Igualando as duas derivações:
, isto é,
Passo 4
Substituindo
na condição
temos
Logo a única forma de f ser diferenciável em todo
é com
e
, o que implica diretamente
Resposta
B(A+1)=0