Sabendo-se que a função
f(x)=ll A sen(B x), & x >= 0 A x+B, & x<0
é diferenciável em todo ponto x in R, é possível concluir que:
B(A+1)=0

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=Asin(Bx),&x>=0A x+B,&x<0
E pede uma condição sobre A e B para que f seja diferenciável em todo R. Vamos usar os conceitos de continuidade e igualdade de derivadas no ponto de transição x=0.

Passo 2

Para garantir continuidade em x=0 precisamos de
f(0^+)=f(0^-)
Calculando cada lado:
f(0^+)=Asin(Bcdot0)=0,
f(0^-)=Acdot0+B=B
Logo, igualando: 0=B, ou seja,
B=0

Passo 3

Para garantir a derivabilidade em x=0 igualamos as derivadas laterais. Para x>0:
f'(x)=ddx[Asin(Bx)] =A Bcos(Bx),
logo
f'(0^+)=A Bcos(0)=A B
Para x<0:
f'(x)=ddx[A x+B]=A,
logo
f'(0^-)=A
Igualando as duas derivações: A B=A, isto é,
A(B-1)=0

Passo 4

Substituindo B=0 na condição A(B-1)=0 temos
A(0-1)=-A=0implies A=0
Logo a única forma de f ser diferenciável em todo R é com A=0 e B=0, o que implica diretamente
B(A+1)=0

Resposta

B(A+1)=0

Exercícios relacionados