Sabendo-se que a função
é diferenciável em todo ponto
, é possível concluir que:
Passo 1
O enunciado define uma função por partes: para x≥0 temos f(x)=A sen(Bx) e para x<0 temos f(x)=A x+B. O tema é diferencial de funções por partes, e vamos precisar exigir continuidade e igualdade de derivadas em x=0.
Passo 2
Para que f seja contínua em x=0 devemos ter f(0−)=f(0+). Calculando: f(0−)=A·0+B=B e f(0+)=A sen(B·0)=0. Igualando,
Passo 3
Para que f seja diferenciável em x=0 exigimos f’(0−)=f’(0+). Derivando cada ramo: para x<0 f’(x)=A, então f’(0−)=A; para x>0 f’(x)=A B cos(Bx), logo f’(0+)=A B. Igualando,
Passo 4
Substituindo B=0 em A(B-1)=0 dá A·(−1)=0, isto é A=0. Finalmente, com A=0 e B=0 obtemos
Resposta
A(B+1)=0