Sabendo-se que a função
f(x)=ll A sen(B x), & x >= 0 A x+B, & x<0
é diferenciável em todo ponto x in R, é possível concluir que:
A(B+1)=0

Passo 1

O enunciado define uma função por partes: para x≥0 temos f(x)=A sen(Bx) e para x<0 temos f(x)=A x+B. O tema é diferencial de funções por partes, e vamos precisar exigir continuidade e igualdade de derivadas em x=0.

Passo 2

Para que f seja contínua em x=0 devemos ter f(0−)=f(0+). Calculando: f(0−)=A·0+B=B e f(0+)=A sen(B·0)=0. Igualando,
B=0

Passo 3

Para que f seja diferenciável em x=0 exigimos f’(0−)=f’(0+). Derivando cada ramo: para x<0 f’(x)=A, então f’(0−)=A; para x>0 f’(x)=A B cos(Bx), logo f’(0+)=A B. Igualando,
A = A B Longrightarrow A(B-1)=0

Passo 4

Substituindo B=0 em A(B-1)=0 dá A·(−1)=0, isto é A=0. Finalmente, com A=0 e B=0 obtemos
A(B+1)=0

Resposta

A(B+1)=0

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