Determine a solução geral das equações diferenciais homogêneas:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede a solução geral de uma equação homogênea de primeira ordem. Para resolver, vamos usar a substituição clássica de variáveis homogêneas
de modo que
.
Passo 2
Substituindo
e
na equação original, obtemos
Isso é equivalente a
Passo 3
Dividindo por
(supondo
), ficamos com
ou seja
Passo 4
Integramos os dois lados:
No lado direito escrevemos
logo
Reagrupando,
Passo 5
Voltando a
v = y/x , temos
1 - v = (x - y)/x , portanto
ou, exponenciando e absorvendo constantes,
Resposta
A solução geral é
onde
C é constante arbitrária.