Determine a solução geral das equações diferenciais homogêneas:
(x^2-x y+y^2) d x-x y d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(x^2-x y+y^2r),dx - x y,dy = 0
e pede a solução geral de uma equação homogênea de primeira ordem. Para resolver, vamos usar a substituição clássica de variáveis homogêneas
y = v x,
de modo que dy = v,dx + x,dv.

Passo 2

Substituindo y = v x e dy = v,dx + x,dv na equação original, obtemos
l(x^2-x,(v x)+(v x)^2r),dx ;-;x,(v x),(v,dx + x,dv)=0
Isso é equivalente a
x^2,(1 - v + v^2),dx ;-;x^2v^2,dx ;-;x^3v,dv = 0
Longrightarrow x^2(1 - v),dx ;-;x^3v,dv = 0

Passo 3

Dividindo por x^2 (supondo xneq0), ficamos com
(1 - v),dx - x,v,dv = 0
ou seja
(1 - v),dx = x,v,dv
Longrightarrow dxx = v1 - v,dv

Passo 4

Integramos os dois lados:
integral dxx ;=;integral v1 - v,dv
No lado direito escrevemos
v1 - v = -1 + 11 - v,
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ln!l|xr| = integral!l(-1 + 11 - vr)dv = -v - ln!l|1 - vr| + C
Reagrupando,
ln!l|x(1 - v)r| + v = C

Passo 5

Voltando a v = y/x, temos 1 - v = (x - y)/x, portanto
ln!l|x - yr| + yx = C
ou, exponenciando e absorvendo constantes,
x - y = C,e^-y/x Long<=ftrightarrow (x - y),e^y/x = C

Resposta

A solução geral é
(x - y),e^yx = C,
onde C é constante arbitrária.

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