Aplicar o critério de comparação para determinar a convergência ou não das seguintes séries numéricas de termos positivos:
sumn=1^infty n^2+1n^4+3 n+1.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty n^2+1n^4+3n+1
de termos positivos e pede para usar o critério de comparação para testar a convergência. Vamos compará-la com a p-série sum 1/n^2.

Passo 2

Observe que, para todo n>=1,
n^4+3n+1 >= n^4
Logo,
n^2+1n^4+3n+1 <= n^2+1n^4 = n^2n^4 + 1n^4 = 1n^2 + 1n^4 <= 2n^2

Passo 3

A série
sumn=1^infty 2n^2
é convergente porque é uma p-série com p=2>1. Pelo critério da comparação direta, a série dada também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n^2+1n^4+3n+1 é convergente.

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