Determine a solução geral das Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Não Homogêneas (EDO LNH) dadas
\left(1+t^{2}\right) \dot{y}(t)-2 t y(t)=2 t\left(1+t^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação
\left(1+t^{2}\right)\dot{y}(t)-2t\,y(t)=2t\left(1+t^{2}\right)
e pede a solução geral y(t). Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é y(t) dependendo de t.
  • O coeficiente da derivada é \left(1+t^{2}\right), que nunca é zero para t\in\mathbb{R}.
  • A equação é linear em y e em \dot{y}.
    O objetivo é encontrar a família de soluções que contém a constante arbitrária de integração.

Passo 2

Primeiro passo prático: pôr a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem, isto é \dot{y}(t)+p(t)y(t)=q(t). Para isso, dividimos tudo por \left(1+t^{2}\right) (permitido porque \,1+t^{2}\neq0) e obtemos
\dot{y}(t)-\frac{2t}{1+t^{2}}\,y(t)=2t.
Aqui podemos identificar
p(t)=-\frac{2t}{1+t^{2}},\qquad q(t)=2t.
Explicando: a forma \dot{y}+p(t)y=q(t) é útil porque existe um procedimento padrão (fator integrante) que transforma o lado esquerdo num diferencial exato.

Passo 3

Apresentando o método do fator integrante (mu): define-se o fator integrante \mu(t) por
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big).
Substituindo p(t)=-\dfrac{2t}{1+t^{2}} temos
\int p(t)\,dt=\int -\frac{2t}{1+t^{2}}\,dt.
Para calcular essa integral use a substituição óbvia u=1+t^{2}, com du=2t\,dt. Assim
\int -\frac{2t}{1+t^{2}}\,dt=-\int \frac{1}{u}\,du=-\ln\big(1+t^{2}\big)+\text{const}.
Desprezamos a constante multiplicativa no fator integrante porque ela só escalaria \mu. Portanto
\mu(t)=\exp\!\big(-\ln(1+t^{2})\big)=(1+t^{2})^{-1}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(t)=(1+t^{2})^{-1}. Fazendo isso obtemos
\frac{1}{1+t^{2}}\dot{y}(t)-\frac{2t}{(1+t^{2})^{2}}\,y(t)=\frac{2t}{1+t^{2}}.
Agora note que a derivada do produto \mu(t)y(t) é
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)y(t)\big)=\mu(t)\dot{y}(t)+\mu'(t)y(t).
Como \mu'(t)=-(2t)/(1+t^{2})^{2}, verificamos que o lado esquerdo da equação multiplicada é precisamente \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{y(t)}{1+t^{2}}\right). Logo a equação fica
\frac{d}{dt}\left(\frac{y(t)}{1+t^{2}}\right)=\frac{2t}{1+t^{2}}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em t. À direita temos já uma integral conhecida:
\int \frac{2t}{1+t^{2}}\,dt=\ln\big(1+t^{2}\big)+C,
novamente por u=1+t^{2}. Portanto, após integração,
\frac{y(t)}{1+t^{2}}=\ln\big(1+t^{2}\big)+C,
onde C é a constante arbitrária de integração (real).

Passo 6

Observações para entender e poder aplicar no exame:
  • A relação obtida em \

Passo 7

  • A constante C é arbitrária e determina a solução particular dentro da família.
  • Para checar uma solução particular rápida: escolhendo C=0 obtém-se a função que satisfaz a igualdade integrada; é possível derivar e substituir de volta na equação original para verificar (os termos com \ln(1+t^{2}) se cancelam adequadamente).

Resposta

y(t)=(1+t^{2})\bigl(\ln(1+t^{2})+C\bigr)

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