Determine a solução geral das Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Não Homogêneas (EDO LNH) dadas
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede a solução geral
. Informações relevantes que temos:
- A incógnita é
dependendo de . - O coeficiente da derivada é
, que nunca é zero para . - A equação é linear em
e em .
O objetivo é encontrar a família de soluções que contém a constante arbitrária de integração.
Passo 2
Primeiro passo prático: pôr a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem, isto é
. Para isso, dividimos tudo por
(permitido porque
) e obtemos
Aqui podemos identificar
Explicando: a forma
é útil porque existe um procedimento padrão (fator integrante) que transforma o lado esquerdo num diferencial exato.
Passo 3
Apresentando o método do fator integrante (mu): define-se o fator integrante
por
Substituindo
temos
Para calcular essa integral use a substituição óbvia
, com
. Assim
Desprezamos a constante multiplicativa no fator integrante porque ela só escalaria
. Portanto
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
. Fazendo isso obtemos
Agora note que a derivada do produto
é
Como
, verificamos que o lado esquerdo da equação multiplicada é precisamente
. Logo a equação fica
Passo 5
Integramos ambos os lados em
. À direita temos já uma integral conhecida:
novamente por
. Portanto, após integração,
onde
é a constante arbitrária de integração (real).
Passo 6
Observações para entender e poder aplicar no exame:
- A relação obtida em \
Passo 7
- A constante
é arbitrária e determina a solução particular dentro da família. - Para checar uma solução particular rápida: escolhendo
obtém-se a função que satisfaz a igualdade integrada; é possível derivar e substituir de volta na equação original para verificar (os termos com se cancelam adequadamente).