Resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial
2.
2.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por:
Dados relevantes:
- A equação diferencial é de primeira ordem, envolvendo
(ou ). - A condição inicial é
.
A tarefa é encontrar a funçãoque satisfaz a equação para todos os (num intervalo onde tudo faz sentido) e que toma o valor em .
Passo 2
Identificar o tipo de equação e a estratégia: esta é uma equação linear de primeira ordem na forma padrão
Aqui, comparando com a equação dada, temos
Método que vamos usar: fator integrante. Vou explicar o que é isso e por que funciona.
Passo 3
O que é o fator integrante? É uma função
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torna a derivada do produto
. Ou seja, queremos
tal que
Isso exige que
. Logo
No nosso caso
, então calculamos o fator integrante.
Passo 4
Calcular
:
(A constante aditiva da primitiva pode ser ignorada porque um fator constante multiplicando
não altera o método.)
Passo 5
Multiplicando a equação original por
obtemos
Pelo cálculo do passo anterior, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
Agora integramos ambos os lados. Para evitar constante arbitrária e já incorporar a condição inicial de forma direta, integro de
a
:
Passo 6
Avalio a integral do lado esquerdo usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Substituo
e
:
Passo 7
Isolo
:
portanto
Esta é uma forma perfeitamente válida da solução. Note que a integral
não tem primitiva elementar expressa por funções elementares; por isso a solução fica escrita com essa integral.
Passo 8
Para ligar com uma função conhecida, podemos usar a função erro (erf). Definição:
Assim
Substituindo na solução obtida:
Ou ainda, fatorando
:
Verificação rápida do valor inicial: em
tem-se
, então
, conforme exigido.