Resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial
2. \dot{y}(t)-2 t y(t)=1, y(0)=-\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por:
\dot{y}(t)-2t\,y(t)=1,\qquad y(0)=-\tfrac{1}{2}.
Dados relevantes:
  • A equação diferencial é de primeira ordem, envolvendo y'(t) (ou \dot{y}(t)).
  • A condição inicial é y(0)=-\tfrac{1}{2}.
    A tarefa é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação para todos os t (num intervalo onde tudo faz sentido) e que toma o valor -\tfrac{1}{2} em t=0.

Passo 2

Identificar o tipo de equação e a estratégia: esta é uma equação linear de primeira ordem na forma padrão
y'(t)+p(t)\,y(t)=q(t).
Aqui, comparando com a equação dada, temos
p(t)=-2t,\qquad q(t)=1.
Método que vamos usar: fator integrante. Vou explicar o que é isso e por que funciona.

Passo 3

O que é o fator integrante? É uma função \mu(t) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(t), o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(t)y(t). Ou seja, queremos \mu tal que
(\mu y)'=\mu y'+\mu' y=\mu\bigl(y'+p y\bigr).
Isso exige que \dfrac{\mu'}{\mu}=p(t). Logo
\frac{\mu'(t)}{\mu(t)}=p(t)\quad\Rightarrow\quad \mu(t)=\exp\!\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr).
No nosso caso p(t)=-2t, então calculamos o fator integrante.

Passo 4

Calcular \mu(t):
\mu(t)=\exp\!\Bigl(\int -2t\,dt\Bigr)=\exp\!\Bigl(-t^2\Bigr).
(A constante aditiva da primitiva pode ser ignorada porque um fator constante multiplicando \mu não altera o método.)

Passo 5

Multiplicando a equação original por \mu(t)=e^{-t^2} obtemos
e^{-t^2}y'(t)-2t e^{-t^2} y(t)=e^{-t^2}.
Pelo cálculo do passo anterior, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
\bigl(e^{-t^2}y(t)\bigr)'=e^{-t^2}.
Agora integramos ambos os lados. Para evitar constante arbitrária e já incorporar a condição inicial de forma direta, integro de 0 a t:
\int_{0}^{t}\bigl(e^{-s^2}y(s)\bigr)' \,ds=\int_{0}^{t} e^{-s^2}\,ds.

Passo 6

Avalio a integral do lado esquerdo usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
e^{-t^2}y(t)-e^{0}y(0)=\int_{0}^{t} e^{-s^2}\,ds.
Substituo y(0)=-\tfrac{1}{2} e e^{0}=1:
e^{-t^2}y(t)+\tfrac{1}{2}=\int_{0}^{t} e^{-s^2}\,ds.

Passo 7

Isolo y(t):
e^{-t^2}y(t)=\int_{0}^{t} e^{-s^2}\,ds-\tfrac{1}{2},
portanto
y(t)=e^{t^2}\left(\int_{0}^{t} e^{-s^2}\,ds-\tfrac{1}{2}\right).
Esta é uma forma perfeitamente válida da solução. Note que a integral \int_{0}^{t} e^{-s^2}\,ds não tem primitiva elementar expressa por funções elementares; por isso a solução fica escrita com essa integral.

Passo 8

Para ligar com uma função conhecida, podemos usar a função erro (erf). Definição:
\operatorname{erf}(t)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{t} e^{-s^2}\,ds.
Assim
\int_{0}^{t} e^{-s^2}\,ds=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(t).
Substituindo na solução obtida:
y(t)=e^{t^2}\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(t)-\tfrac{1}{2}\right).
Ou ainda, fatorando \tfrac{1}{2}e^{t^2}:
y(t)=\frac{e^{t^2}}{2}\bigl(\sqrt{\pi}\,\operatorname{erf}(t)-1\bigr).
Verificação rápida do valor inicial: em t=0 tem-se \operatorname{erf}(0)=0, então y(0)=e^{0}\bigl(0-\tfrac{1}{2}\bigr)=-\tfrac{1}{2}, conforme exigido.

Resposta

y(t)=e^{t^2}\left(\int_{0}^{t} e^{-s^2}\,ds-\tfrac{1}{2}\right)
\text{ou}\qquad y(t)=\frac{e^{t^2}}{2}\bigl(\sqrt{\pi}\,\operatorname{erf}(t)-1\bigr)

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