Resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial
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Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para valores de
compatíveis com a equação e que também satisfaz a condição inicial
.
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Para isso dividimos ambos os lados por
. Aqui precisamos checar que isso é legítimo: a divisão por
só é válida quando
. Como a condição inicial está em
, estamos interessados em soluções em torno de
(ou seja,
), então dividir por
é seguro.
Ao dividir por
obtemos:
Nesta forma, a equação está escrita como
onde, neste problema,
e
.
Passo 3
Explicação do método que vamos usar (integração por fator integrante):
- Para uma equação linear de primeira ordem
, define-se o fator integrante por
- A razão é que, multiplicando a equação por
, o lado esquerdo se torna a derivada do produto :
Isso transforma a equação diferencial numa forma imediatamente integrável.
Agora aplicamos isso ao nosso
. Calculamos o fator integrante:
Portanto
Como estamos interessados em
perto de
(positivos), podemos tomar
.
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
. Assim:
Simplificando os termos obtemos
Reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto
. De fato, verificando:
Portanto a equação fica
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo dá diretamente
. No lado direito, calculamos a integral passo a passo:
onde
é a constante de integração. Assim obtemos a relação
Passo 6
Isolando
da relação anterior:
Isso é a solução geral da equação diferencial (válida para
). Aqui
é uma constante arbitrária que será determinada pela condição inicial.
Passo 7
Usamos a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
em
obtemos:
Logo
Passo 8
Com
temos a solução particular que satisfaz a condição inicial. (Não repetir aqui a expressão final, ela será colocada somente na seção de resposta conforme pedido.)