Resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial
  1. t \dot{y}(t)+2 y(t)=4 t^{2}, y(1)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
t\,\dot{y}(t)+2\,y(t)=4t^{2},\qquad y(1)=2.
O que se pede: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial para valores de t compatíveis com a equação e que também satisfaz a condição inicial y(1)=2.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Para isso dividimos ambos os lados por t. Aqui precisamos checar que isso é legítimo: a divisão por t só é válida quando t\neq0. Como a condição inicial está em t=1, estamos interessados em soluções em torno de t=1 (ou seja, t>0), então dividir por t é seguro.
Ao dividir por t obtemos:
\dot{y}(t)+\frac{2}{t}\,y(t)=4t.
Nesta forma, a equação está escrita como
\dot{y}+P(t)\,y=Q(t),
onde, neste problema, \;P(t)=\dfrac{2}{t}\; e \;Q(t)=4t.

Passo 3

Explicação do método que vamos usar (integração por fator integrante):
  • Para uma equação linear de primeira ordem \dot{y}+P(t)y=Q(t), define-se o fator integrante \mu(t) por
\mu(t)=\exp\!\left(\int P(t)\,dt\right).
  • A razão é que, multiplicando a equação por \mu(t), o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(t)y(t):
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)y(t)\big)=\mu(t)Q(t).
Isso transforma a equação diferencial numa forma imediatamente integrável.
Agora aplicamos isso ao nosso P(t)=\dfrac{2}{t}. Calculamos o fator integrante:
\int P(t)\,dt=\int \frac{2}{t}\,dt=2\ln|t|.
Portanto
\mu(t)=\exp\!\big(2\ln|t|\big)=|t|^{2}.
Como estamos interessados em t perto de 1 (positivos), podemos tomar \mu(t)=t^{2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(t)=t^{2}. Assim:
t^{2}\dot{y}(t)+t^{2}\cdot\frac{2}{t}\,y(t)=t^{2}\cdot 4t.
Simplificando os termos obtemos
t^{2}\dot{y}(t)+2t\,y(t)=4t^{3}.
Reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto t^{2}y(t). De fato, verificando:
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y(t)\big)=2t\,y(t)+t^{2}\dot{y}(t).
Portanto a equação fica
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y(t)\big)=4t^{3}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\big(t^{2}y(t)\big)\,dt=\int 4t^{3}\,dt.
A integral do lado esquerdo dá diretamente t^{2}y(t). No lado direito, calculamos a integral passo a passo:
\int 4t^{3}\,dt = 4\cdot\frac{t^{4}}{4}=t^{4}+C,
onde C é a constante de integração. Assim obtemos a relação
t^{2}y(t)=t^{4}+C.

Passo 6

Isolando y(t) da relação anterior:
y(t)=\frac{t^{4}+C}{t^{2}}=t^{2}+C\,t^{-2}.
Isso é a solução geral da equação diferencial (válida para t\neq0). Aqui C é uma constante arbitrária que será determinada pela condição inicial.

Passo 7

Usamos a condição inicial y(1)=2 para encontrar C. Substituindo t=1 em y(t)=t^{2}+C\,t^{-2} obtemos:
2 = 1^{2}+C\cdot 1^{-2}=1+C.
Logo
C=1.

Passo 8

Com C=1 temos a solução particular que satisfaz a condição inicial. (Não repetir aqui a expressão final, ela será colocada somente na seção de resposta conforme pedido.)

Resposta

y(t)=t^{2}+t^{-2}

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