Determine a solução geral das equações diferenciais de segunda ordem não homogêneas
y^{\prime \prime}+y=x^{2}+x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem não homogênea
y'' + y = x^{2} + x.
Informações relevantes que temos:
  • É uma equação linear de ordem 2 com coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo (lado direito) é um polinômio de grau 2: x^{2}+x.
  • Queremos a solução geral, ou seja, todas as soluções possíveis da equação.

Passo 2

Estratégia geral (explicação didática): para uma equação linear com coeficientes constantes como
L[y] \equiv y''+y = g(x),
a solução geral é a soma de duas partes:
y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x),
onde y_{h} é a solução geral da equação homogênea associada y''+y=0 e y_{p} é uma solução particular de y''+y=g(x). Isso funciona por causa da linearidade: L[y_h]=0 e L[y_p]=g(x), então L[y_h+y_p]=g(x). Vou achar y_h e y_p passo a passo.

Passo 3

Resolver a homogênea y''+y=0.
Método: procurar soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo:
r^{2}e^{rx}+e^{rx}=0 \quad\Rightarrow\quad (r^{2}+1)e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq0, obtemos a equação característica
r^{2}+1=0.
As raízes são r=\pm i. Para raízes complexas \pm i a forma real geral das soluções homogêneas é
y_{h}(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Explicação rápida: e^{ix}=\cos x + i\sin x, daí surgem seno e cosseno como soluções reais.)

Passo 4

Encontrar uma solução particular y_{p} para a não homogênea. Vou usar o método dos coeficientes indeterminados.
Escolha do ansatz: o termo não homogêneo é um polinômio de grau 2, x^{2}+x. Como as soluções homogêneas são funções trigonométricas ( \cos x, \sin x), não há ressonância com um polinômio — isto é, nenhuma parte do polinômio coincide com y_h. Portanto podemos tentar um polinômio de grau 2 como solução particular:
y_{p}(x)=Ax^{2}+Bx+C,
onde A, B, C são constantes a determinar.

Passo 5

Calcular derivadas de y_{p} e substituir na equação.
Derivadas:
y_{p}'(x)=2Ax+B,
y_{p}''(x)=2A.
Substituindo em y''+y:
y_{p}'' + y_{p} = 2A + (Ax^{2}+Bx+C).
Agrupando termos em potências de x:
y_{p}'' + y_{p} = Ax^{2} + Bx + (2A + C).
Queremos que isso seja igual a x^{2}+x. Assim igualamos coeficientes dos polinômios em cada potência de x.
Para x^{2}:
A = 1.
Para x^{1}:
B = 1.
Para termo constante:
2A + C = 0 \quad\Rightarrow\quad C = -2A.
Como A=1, obtemos C=-2.
Portanto
y_{p}(x)=1\cdot x^{2} + 1\cdot x - 2 = x^{2}+x-2.

Passo 6

Montar a solução geral somando y_{h} e y_{p}.
Logo a solução geral da equação dada é
y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + x^{2} + x - 2,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + x^{2} + x - 2

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