Determine a solução geral das equações diferenciais de segunda ordem não homogêneas
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem não homogênea
Informações relevantes que temos:
- É uma equação linear de ordem 2 com coeficientes constantes.
- O termo não homogêneo (lado direito) é um polinômio de grau 2:
. - Queremos a solução geral, ou seja, todas as soluções possíveis da equação.
Passo 2
Estratégia geral (explicação didática): para uma equação linear com coeficientes constantes como
a solução geral é a soma de duas partes:
onde
é a solução geral da equação homogênea associada
e
é uma solução particular de
. Isso funciona por causa da linearidade:
e
, então
. Vou achar
e
passo a passo.
Passo 3
Resolver a homogênea
.
Método: procurar soluções da forma
. Substituindo:
Como
, obtemos a equação característica
As raízes são
. Para raízes complexas
a forma real geral das soluções homogêneas é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Explicação rápida:
, daí surgem seno e cosseno como soluções reais.)
Passo 4
Encontrar uma solução particular
para a não homogênea. Vou usar o método dos coeficientes indeterminados.
Escolha do ansatz: o termo não homogêneo é um polinômio de grau 2,
. Como as soluções homogêneas são funções trigonométricas (
,
), não há ressonância com um polinômio — isto é, nenhuma parte do polinômio coincide com
. Portanto podemos tentar um polinômio de grau 2 como solução particular:
onde
,
,
são constantes a determinar.
Passo 5
Calcular derivadas de
e substituir na equação.
Derivadas:
Substituindo em
:
Agrupando termos em potências de
:
Queremos que isso seja igual a
. Assim igualamos coeficientes dos polinômios em cada potência de
.
Para
:
Para
:
Para termo constante:
Como
, obtemos
.
Portanto
Passo 6
Montar a solução geral somando
e
.
Logo a solução geral da equação dada é
onde
e
são constantes arbitrárias reais.