Determine a solução geral das equações diferenciais de segunda ordem não homogêneas
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=x^{2} e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem não homogênea
y'' + 4y' + 4y = x^{2} e^{2x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  1. A equação é linear, de coeficientes constantes, e de segunda ordem.
  2. O termo não homogêneo (forçamento) é x^{2} e^{2x}, que é um polinômio de grau 2 multiplicado por uma exponencial e^{2x}.
  3. A tarefa é achar a solução geral y(x), ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

Primeiro obtemos a solução geral da equação homogênea associada:
y'' + 4y' + 4y = 0.
Método: procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}+4r+4=0.
Calculamos as raízes: isso é um quadrado perfeito, pois
r^{2}+4r+4=(r+2)^{2},
logo existe uma raiz dupla r=-2 (multiplicidade 2). Regra importante: se a raiz r da característica tem multiplicidade 2, as soluções independentes são e^{rx} e x e^{rx}. Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x) = \big(C_{1} + C_{2} x\big) e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p} da equação completa. Como o lado direito é x^{2} e^{2x}, usamos o método dos coeficientes a determinar: tentamos uma solução da forma
y_{p}(x) = p(x) e^{2x},
onde p(x) é um polinômio de mesmo grau do polinômio no lado direito, isto é, grau 2. Logo tomamos
p(x)=a x^{2}+b x + c,
com a,b,c desconhecidos a determinar. Explico por que: para termos um termo x^{2}e^{2x} na força, multiplicamos uma combinação polinomial de grau 2 por e^{2x}. Também precisamos verificar ressonância: como r=2 não é raiz da equação característica (que tem r=-2), não precisamos multiplicar a tentativa por potências extras de x. Então a escolha acima é válida.

Passo 4

Calculamos derivadas de y_{p}. Defina p(x)=a x^{2}+b x+c. Usamos a regra do produto e a derivada de e^{2x}.
Primeiro,
p'(x)=2a x + b, \qquad p''(x)=2a.
Como y_{p}=p e^{2x}, aplicando produto:
y_{p}' = (p' + 2p)\, e^{2x},
pois \frac{d}{dx}(e^{2x})=2e^{2x}. Derivando de novo,
y_{p}'' = \big(p'' + 4p' + 4p\big)\, e^{2x}.
Agora substituímos y_{p},y_{p}',y_{p}'' no operador da equação à esquerda:
y_{p}'' + 4y_{p}' + 4y_{p} = \big(p'' + 4p' + 4p\big)e^{2x} + 4\big(p' + 2p\big)e^{2x} + 4 p e^{2x}.
Fatorando e^{2x} e somando os coeficientes de p,p',p'', obtemos
y_{p}'' + 4y_{p}' + 4y_{p} = \big(p'' + 8p' + 16p\big)\, e^{2x}.
Como a equação exige que isso seja igual a x^{2} e^{2x}, podemos cancelar e^{2x} (não é zero) e obter a igualdade polinomial
p''(x) + 8 p'(x) + 16 p(x) = x^{2}.

Passo 5

Substituímos p,p',p''\) em termos de \(a,b,c\). Lembrando \(p(x)=a x^{2}+b x+c\), temos já \(p'(x)=2a x + b\) e \(p''(x)=2a\). Então \[p'' + 8p' + 16p = 2a + 8(2a x + b) + 16(a x^{2} + b x + c).
Agora expandimos e agrupamos em potências de x:
  • Coeficiente de x^{2}: 16a.
  • Coeficiente de x: 8\cdot 2a + 16b = 16a + 16b.
  • Termo constante: 2a + 8b + 16c.
A igualdade polinomial com o lado direito x^{2} (cuja expansão é 1\cdot x^{2} + 0\cdot x + 0) dá o sistema de equações:
\begin{cases} 16a = 1,\\[4pt] 16a + 16b = 0,\\[4pt] 2a + 8b + 16c = 0. \end{cases}
Resolvendo passo a passo:
Da primeira equação,
a = \dfrac{1}{16}.
Da segunda,
16\cdot \dfrac{1}{16} + 16b = 0 \implies 1 + 16b = 0 \implies b = -\dfrac{1}{16}.
Da terceira,
2\cdot \dfrac{1}{16} + 8\cdot\big(-\dfrac{1}{16}\big) + 16c = 0.
Calcule os termos: 2\cdot \dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{8}\] e \(8\cdot(-\dfrac{1}{16})=-\dfrac{1}{2}. Então
\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{2} + 16c = 0 \implies -\dfrac{3}{8} + 16c = 0 \implies 16c = \dfrac{3}{8}.
Logo
c = \dfrac{3}{128}.]

Passo 6

Portanto o polinômio determinado é
p(x)=\dfrac{1}{16}x^{2} - \dfrac{1}{16}x + \dfrac{3}{128}.
A solução particular é
y_{p}(x) = \left(\dfrac{1}{16}x^{2} - \dfrac{1}{16}x + \dfrac{3}{128}\right) e^{2x}.
Somando com a homogênea, obtemos a solução geral:
y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{-2x} + \left(\dfrac{1}{16}x^{2} - \dfrac{1}{16}x + \dfrac{3}{128}\right)e^{2x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{-2x} + \left(\dfrac{1}{16}x^{2} - \dfrac{1}{16}x + \dfrac{3}{128}\right)e^{2x}.

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