Determine a solução geral das equações diferenciais de variáveis separáveis a seguir.
2 x(3 y+1) \frac{d y}{d x}+1-2 x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2x(3y+1)\frac{dy}{dx}+1-2x=0
e pede a solução geral. É uma equação de variáveis separáveis: basta isolar dy de um lado e dx do outro e integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação,
2x(3y+1)\frac{dy}{dx}=2x-1.
Logo,
\frac{dy}{dx}=\frac{2x-1}{2x(3y+1)}
e, rearranjando para separar as variáveis,
(3y+1)\,dy=\frac{2x-1}{2x}\,dx=\Bigl(1-\frac{1}{2x}\Bigr)dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int(3y+1)\,dy =\int\Bigl(1-\frac{1}{2x}\Bigr)dx.
No lado esquerdo:
\int(3y+1)\,dy =\frac{3}{2}y^2+y.
No lado direito:
\int1\,dx-\frac12\int\frac{1}{x}\,dx =x-\tfrac12\ln\lvert x\rvert.
Assim,
\frac{3}{2}y^2+y =x-\frac12\ln\lvert x\rvert+C.

Passo 4

Podemos deixar a solução em forma implícita mais simples multiplicando por 2 e chamando a constante de C_1:
3y^2+2y-2x+\ln\lvert x\rvert=C_1.

Resposta

A solução geral implícita é
3y^2+2y-2x+\ln\lvert x\rvert=C_1,
com C_1 constante arbitrária.

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