Determine a solução geral das equações diferenciais de variáveis separáveis a seguir.
y^{\prime}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de variáveis separáveis
y' = \frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}.
Vamos separar as variáveis y e x e integrar cada lado.

Passo 2

Separe a equação em
\frac{dy}{1+y^{2}} = \frac{dx}{1+x^{2}}
e integre ambos os lados:
\int \frac{dy}{1+y^{2}} = \int \frac{dx}{1+x^{2}}.
Como \displaystyle \int \frac{du}{1+u^{2}}=\arctan(u), obtemos
\arctan(y) = \arctan(x) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 3

A relação
\arctan(y) = \arctan(x) + C
é a forma implícita da solução geral. Para ficar explícito em y, aplicamos a tangente em ambos os lados:

Passo 4

Usando
y = \tan\bigl(\arctan(x) + C\bigr),
obtemos uma forma explícita. Além disso, se definirmos A=\tan\text{(C)}, podemos usar a fórmula de soma de tangentes para escrever
y = \frac{x + A}{1 - A\,x},
onde A é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação é
y = \tan\bigl(\arctan(x) + C\bigr),
ou, equivalentemente,
y = \frac{x + A}{1 - A\,x},
com C ou A=\tan\text{(C)} constantes arbitrárias.

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