Resolva as equações diferenciais abaixo.
\left(x^{2}+1\right) d x+\frac{1}{y} d y=0 ; y(-1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
com
M(x,y) = x^{2}+1, \quad N(x,y) = \frac{1}{y},
e a condição inicial y(-1)=1.
O conteúdo aqui é o de equações diferenciais exatas (ou equivalently separáveis, pois N depende só de y).

Passo 2

Verificamos se a equação é exata, i.e. se
\frac{\partial M}{\partial y} \;=\; \frac{\partial N}{\partial x}.
Como \partial M/\partial y = 0 e \partial N/\partial x = 0,
a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x} = M(x,y), \quad \frac{\partial F}{\partial y} = N(x,y).
Integramos M em relação a x:
F(x,y) = \int (x^{2}+1)\,dx + g(y) = \frac{x^{3}}{3} + x + g(y),
onde g é função a determinar.

Passo 4

Agora impomos
\frac{\partial F}{\partial y} = g'(y) = N(x,y) = \frac{1}{y}.
Logo
g'(y) = \frac{1}{y} \quad\Longrightarrow\quad g(y) = \int \frac{1}{y}\,dy = \ln\lvert y\rvert.
Assim a equação implícita geral é
F(x,y) = \frac{x^{3}}{3} + x + \ln\lvert y\rvert = C.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(-1)=1. Substituindo x=-1, y=1 em F(x,y)=C,
\frac{(-1)^{3}}{3} + (-1) + \ln\lvert 1\rvert = -\frac{1}{3} -1 + 0 = -\tfrac{4}{3}.
Logo C = -\tfrac{4}{3}.

Passo 6

A forma final é
\frac{x^{3}}{3} + x + \ln\lvert y\rvert = -\frac{4}{3},
de onde
\ln\lvert y\rvert = -\frac{4}{3} - \frac{x^{3}}{3} - x \quad\Longrightarrow\quad y = \exp\Bigl(-\tfrac{x^{3}}{3} - x - \tfrac{4}{3}\Bigr).
Como y(-1)=1>0, escolhemos o sinal positivo na exponencial.

Resposta

y(x) = \exp\Bigl(-\tfrac{x^{3}}{3} - x - \tfrac{4}{3}\Bigr).

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