Resolva as equações diferenciais abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma
com
e a condição inicial
.
O conteúdo aqui é o de equações diferenciais exatas (ou equivalently separáveis, pois depende só de
).
O conteúdo aqui é o de equações diferenciais exatas (ou equivalently separáveis, pois
Passo 2
Verificamos se a equação é exata, i.e. se
Como
e
,
a equação é exata.
a equação é exata.
Passo 3
Por ser exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Agora impomos
Logo
Assim a equação implícita geral é
Passo 5
Usamos a condição inicial
. Substituindo
,
em
,
Logo
.
Passo 6
A forma final é
de onde
Como
, escolhemos o sinal positivo na exponencial.