1.7.5 Prove que \boldsymbol{\nabla} \cdot(\mathbf{a} \times \mathbf{b})=\mathbf{b} \cdot(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{a})-\mathbf{a} \cdot(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{b}). Sugestão: Trate como um produto escalar triplo.

Passo 1

O enunciado pede provar a identidade vetorial
\boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{a}) - \mathbf{a}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{b}).
Isso envolve operadores divergência e rotor aplicados a campos vetoriais \mathbf{a} e \mathbf{b}. A sugestão é usar o produto escalar triplo, isto é, representar \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) como determinante.

Passo 2

Escrevemos
\boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = \begin{vmatrix} \partial_x & \partial_y & \partial_z \\[6pt] a_x & a_y & a_z \\[3pt] b_x & b_y & b_z \end{vmatrix},
onde \partial_x=\frac{\partial}{\partial x}, etc. Esse determinante é a expansão do produto escalar triplo (\boldsymbol{\nabla},\mathbf{a},\mathbf{b}).]

Passo 3

Expandindo por co-fatores na primeira linha, obtemos
\partial_x(a_y b_z - a_z b_y) -\partial_y(a_x b_z - a_z b_x) +\partial_z(a_x b_y - a_y b_x).
Agora aplicamos a regra do produto em cada termo, por exemplo
\partial_x(a_y b_z)=(\partial_x a_y)\,b_z + a_y\,(\partial_x b_z), e assim por diante.

Passo 4

Separando os termos em que a derivada incide sobre \mathbf{a} daqueles em que incide sobre \mathbf{b}, achamos:
  1. Termos com \partial a:
b_z(\partial_x a_y - \partial_y a_x) + b_x(\partial_y a_z - \partial_z a_y) + b_y(\partial_z a_x - \partial_x a_z) \;=\;\mathbf{b}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{a}).
  1. Termos com \partial b:
a_x(-\partial_y b_z + \partial_z b_y) + a_y(\partial_x b_z - \partial_z b_x) + a_z(-\partial_x b_y + \partial_y b_x) \;=\;-\,\mathbf{a}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{b}).

Passo 5

Somando as contribuições, vem
\boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{a}) \;-\;\mathbf{a}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{b}),
que é exatamente a identidade pedida.

Resposta

\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{a}) - \mathbf{a}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{b}).

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