1.7.5 Prove que \boldsymbol{\nabla} \cdot(\mathbf{a} \times \mathbf{b})=\mathbf{b} \cdot(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{a})-\mathbf{a} \cdot(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{b}). Sugestão: Trate como um produto escalar triplo.
Passo 1
O enunciado pede provar a identidade vetorial \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{a}) - \mathbf{a}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{b}).
Isso envolve operadores divergência e rotor aplicados a campos vetoriais \mathbf{a} e \mathbf{b}. A sugestão é usar o produto escalar triplo, isto é, representar \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) como determinante.
onde \partial_x=\frac{\partial}{\partial x}, etc. Esse determinante é a expansão do produto escalar triplo (\boldsymbol{\nabla},\mathbf{a},\mathbf{b}).]
Passo 3
Expandindo por co-fatores na primeira linha, obtemos