Determine a solução geral das equações diferenciais de variáveis separáveis a seguir.
y^{\prime}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de variáveis separáveis
y' = \frac{1 + y^2}{1 + x^2}.
Aqui vamos usar a técnica de separação de variáveis, isto é, escrever todos os termos em y de um lado e em x de outro, e então integrar. Também precisaremos da antiderivada \int \frac{du}{1+u^2} = \arctan u.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
\frac{dy}{1 + y^2} \;=\; \frac{dx}{1 + x^2}.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{1 + y^2} \;=\; \int \frac{dx}{1 + x^2}
que dá
\arctan y = \arctan x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para explicitar y, aplicamos a tangente em ambos os lados:
y = \tan\bigl(\arctan x + C\bigr).
Usando a fórmula de tangente da soma de arcos, podemos escrever
y = \frac{x + \tan C}{1 - x\,\tan C}.
Chamando k = \tan C, obtemos a forma mais usual da solução:

Resposta

\displaystyle y(x) = \tan\bigl(\arctan x + C\bigr), ou equivalentemente
y(x) = \frac{x + k}{1 - k\,x},\quad k\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados