1.7.6 O campo eletrostático de uma carga pontual q é
\mathbf{E}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}} .

Calcule a divergência de E. O que acontece na origem?

Passo 1

O enunciado dá o campo eletrostático de uma carga pontual q em todo o espaço:
\mathbf{E}(\mathbf{r}) =\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}
e pede para calcular a divergência \nabla\cdot\mathbf{E} e discutir o que ocorre na origem. Para isso, vamos usar a expressão da divergência em coordenadas esféricas, adequada a um campo radial.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, um campo meramente radial \mathbf{E}=E_{r}(r)\,\hat{\mathbf{r}} tem divergência dada por
\nabla\cdot\mathbf{E} =\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}E_{r}(r)\bigr).
Aqui identificamos
E_{r}(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{1}{r^{2}}.

Passo 3

Substituindo E_{r}(r) em \nabla\cdot\mathbf{E} para r>0:
r^{2}E_{r}(r) =r^{2}\cdot\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{1}{r^{2}} =\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}E_{r}(r)\bigr) =0.
Logo, para todo ponto r\neq0,
\nabla\cdot\mathbf{E}=0.

Passo 4

Na origem r=0, o campo \mathbf{E} diverge como 1/r^{2} e a fórmula acima não se aplica diretamente. Fisicamente, sabemos que a carga pontual atua como fonte concentrada no ponto \mathbf{r}=0. Em teoria de distribuições, mostra-se que
\nabla\cdot\mathbf{E} =\frac{q}{\varepsilon_{0}}\;\delta^{3}(\mathbf{r}),
ou seja, a divergência é nula em todo lugar, exceto um “pico” infinitamente alto na origem que reproduz a carga q.

Resposta

Para r\neq0, \nabla\cdot\mathbf{E}=0. Na origem, a divergência não é finita e, em linguagem de distribuições,
\nabla\cdot\mathbf{E} =\frac{q}{\varepsilon_{0}}\;\delta^{3}(\mathbf{r}).

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