1.7.6 O campo eletrostático de uma carga pontual
é
Calcule a divergência de E. O que acontece na origem?
Passo 1
O enunciado dá o campo eletrostático de uma carga pontual
em todo o espaço:
e pede para calcular a divergência
e discutir o que ocorre na origem. Para isso, vamos usar a expressão da divergência em coordenadas esféricas, adequada a um campo radial.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, um campo meramente radial
tem divergência dada por
Aqui identificamos
Passo 3
Substituindo
em
para
:
Logo, para todo ponto
,
Passo 4
Na origem
, o campo
diverge como
e a fórmula acima não se aplica diretamente. Fisicamente, sabemos que a carga pontual atua como fonte concentrada no ponto
. Em teoria de distribuições, mostra-se que
ou seja, a divergência é nula em todo lugar, exceto um “pico” infinitamente alto na origem que reproduz a carga
.
Resposta
Para
,
. Na origem, a divergência não é finita e, em linguagem de distribuições,