Identifique o domínio da função e classifique as funções em funções sobrejetora, injetora e bijetora.
(20) f(x)=\sqrt{\left|x^{2}-2 x+4\right|};
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: identificar o domínio da função e classificar a função quanto a ser injetora, sobrejetora e bijetora.
A função dada é \;f(x)=\sqrt{\left|x^{2}-2x+4\right|}.
Informações relevantes que o enunciado fornece: a expressão dentro da raiz é \left|x^{2}-2x+4\right|, que envolve valor absoluto e raiz quadrada. Não foi explicitado um codomínio, então adotarei inicialmente o codomínio usual \mathbb{R} (todos os números reais); quando necessário, vou comentar a classificação relativa à imagem (o conjunto de valores realmente atingidos).
Passo 2
Entendendo o que limita o domínio: para uma expressão do tipo \sqrt{\,\cdot\,} a exigência padrão é que o radicando seja maior ou igual a zero, isto é, precisamos de
\left|x^{2}-2x+4\right| \ge 0.
Explicação didática: o valor absoluto de qualquer número real é sempre maior ou igual a zero — por definição |t|\ge 0 para todo t. Portanto, qualquer expressão da forma |\text{alguma expressão}|ã já é não negativa para todo x. Assim, não há restrição adicional vinda da raiz quando o radicando é um valor absoluto.
Passo 3
Observação que simplifica a função: a expressão dentro do valor absoluto pode ser reescrita completando o quadrado:
x^{2}-2x+4=(x-1)^{2}+3.
Explicando: (x-1)^2 = x^2-2x+1. Somando 3 obtemos x^2-2x+4. Como (x-1)^2\ge 0 para todo x, segue que (x-1)^2+3\ge 3>0 para todo x. Logo x^{2}-2x+4 é sempre positivo, nunca negativo. Portanto o valor absoluto é redundante aqui:
\left|x^{2}-2x+4\right| = x^{2}-2x+4 = (x-1)^2+3.
Passo 4
Conclusão sobre o domínio: já que para todo x\in\mathbb{R} temos \left|x^{2}-2x+4\right|\ge 3>0, a raiz quadrada está sempre bem definida para todo x\in\mathbb{R}. Assim o domínio é
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}.
Comentário motivador: ótimo — nada de restrições estranhas, podemos escolher qualquer número real como entrada!
Passo 5
Encontrando a imagem (contrapasso para surjetividade): como f(x)=\sqrt{(x-1)^2+3}, a menor possível valor de (x-1)^2 é 0 (ocorre quando x=1). Assim o menor valor de (x-1)^2+3 é 3, e portanto o menor valor de f(x) é \sqrt{3}. Para ver que todos os valores maiores ou iguais a \sqrt{3} são atingidos, procedemos assim: seja y\ge \sqrt{3}. Colocando y=f(x) obtemos
logo x-1=\pm\sqrt{y^{2}-3} e existem soluções reais para x. Portanto a imagem (conjunto de valores realmente assumidos por f) é
\mathrm{Im}(f)=[\sqrt{3},\infty).
Passo 6
Definição e verificação de injetividade (passo a passo): uma função é injetora se entradas diferentes nunca produzem a mesma saída; formalmente, f(a)=f(b) implica a=b. Aqui, note que f(x) depende apenas de (x-1)^2. Isso cria simetria em torno de x=1: para qualquer x temos
( (2-x)-1 )^{2} = (1-x)^{2} = (x-1)^{2},
portanto f(2-x)=f(x). Como regra prática, se existir um par a\ne b com f(a)=f(b), a função não é injetora. Um exemplo numérico simples: x=0 e x=2 são distintos, e
f(0)=\sqrt{(0-1)^2+3}=\sqrt{1+3}=2,
f(2)=\sqrt{(2-1)^2+3}=\sqrt{1+3}=2.
Como f(0)=f(2) e 0\ne 2, a função não é injetora.
Passo 7
Definição e verificação de sobrejetividade considerando o codomínio \mathbb{R}: uma função é sobrejetora (ou “sobre”) se para todo y no codomínio existe x no domínio tal que f(x)=y. Se o codomínio for \mathbb{R}, como vimos a imagem é [\sqrt{3},\infty), então números menores que \sqrt{3} (por exemplo 0 ou -1) não são atingidos por f. Logo f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} não é sobrejetora. Observação adicional útil: se em vez de \mathbb{R} tomarmos o codomínio como [\sqrt{3},\infty), aí a função passa a ser sobrejetora (cada valor em [\sqrt{3},\infty) é atingido), mas isso não muda o fato de que ela continua não injetora — portanto não seria bijetora mesmo nesse caso.
Passo 8
Conclusão final sobre classificação: resumindo os resultados — domínio, imagem e propriedades de injeção/sobrejeção/bijeção.
Resposta
Domínio: \mathbb{R}
Classificação: não injetora; não sobrejetora quando o codomínio é \mathbb{R}; não bijetora. (A imagem é [\sqrt{3},\infty), e f é sobrejetora somente se o codomínio for [\sqrt{3},\infty), mas mesmo assim não é injetora.)