Determine a solução geral das equações de recorrência:
x_{n+2}-5 x_{n+1}+6 x_{n}=n+3^{n}.

Passo 1

O enunciado dá a recorrência linear não-homogênea de segunda ordem
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_n = n + 3^{n}.
O que se pede é a solução geral x_n, ou seja, uma expressão que contenha as constantes arbitrárias (como A e B) e que seja válida para todo n. Informações relevantes fornecidas:
\text{recorrência: }x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_n = n + 3^{n}.ê
Não há condições iniciais fornecidas, então a resposta deve conter constantes livres. O termo à direita tem duas partes: um termo polinomial em n (que é n) e um termo exponencial 3^{n}. A solução geral será soma da solução da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Vamos achar primeiro a solução geral da equação homogênea associada:
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_n=0.
A técnica padrão é procurar soluções da forma \;x_n=r^n\;. Substituindo, obtemos a equação característica:
r^{2}-5r+6=0.
Resolvendo essa quadrática:
r^{2}-5r+6=(r-2)(r-3)=0,
portanto as raízes são r=2 e r=3, distintas.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é combinação linear das potências correspondentes:
x_n^{(h)} = A\cdot 2^{n} + B\cdot 3^{n},
onde A e B são constantes arbitrárias (a serem determinadas por condições iniciais, se houvesse).

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular x_n^{(p)} da equação completa
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_n = n + 3^{n}.
Usamos o método dos coeficientes a determinar (método das tentativas): como o lado direito é soma de um polinômio em n (grau 1) e de 3^{n}, procuramos x_n^{(p)} como soma de uma parte polinomial e uma parte exponencial:
x_n^{(p)} = p_n + q_n,
onde p_n é um polinômio de grau 1 (tentativa) e q_n trata o termo 3^{n}. Contudo atenção: como 3 é raiz da equação característica (multiplicidade 1), para o termo 3^{n} devemos multiplicar a tentativa por n. Assim escolhemos
p_n = a n + b,\qquad q_n = c\,n\,3^{n}.
Os coeficientes a,b,c são desconhecidos e serão determinados substituindo na recorrência.

Passo 5

Calculamos a ação do operador L definido por L(x_n)=x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_n sobre p_n. Primeiro os deslocamentos:
p_{n+1}=a(n+1)+b = an + a + b,
p_{n+2}=a(n+2)+b = an + 2a + b.
Aplicando L em p_n:
L(p_n)=p_{n+2}-5p_{n+1}+6p_n
= (an+2a+b) -5(an+a+b) +6(an+b).
Agora vamos agrupar termos em n e constantes:
coeficiente de n:
a -5a +6a = 2a.
termo constante:
2a + b -5(a+b) +6b = 2a + b -5a -5b +6b = -3a +2b.
Logo
L(p_n) = (2a)\,n + (-3a+2b).

Passo 6

Igualamos L(p_n) à parte polinomial do lado direito (que é n, i.e. coeficiente de n igual a 1 e termo constante 0):
2a = 1,\qquad -3a + 2b = 0.
Da primeira equação a=\tfrac{1}{2}. Substituindo na segunda:
-3\cdot\tfrac{1}{2} + 2b = 0 \quad\Rightarrow\quad -\tfrac{3}{2} + 2b = 0 \quad\Rightarrow\quad 2b=\tfrac{3}{2},
portanto b=\tfrac{3}{4}. Assim
p_n = \tfrac{1}{2}n + \tfrac{3}{4}.

Passo 7

Agora tratamos q_n = c\,n\,3^{n}. Calculamos os deslocamentos:
q_{n+1} = c(n+1)3^{n+1} = c\cdot 3^{n}\cdot 3(n+1),
q_{n+2} = c(n+2)3^{n+2} = c\cdot 3^{n}\cdot 9(n+2).
Aplicando L em q_n:
L(q_n)=q_{n+2}-5q_{n+1}+6q_n
= c\cdot 3^{n}\bigl(9(n+2) -5\cdot 3(n+1) +6n\bigr).
Simplificando o parêntese:
9(n+2) -15(n+1) +6n = 9n+18 -15n -15 +6n = (9n-15n+6n) + (18-15) = 0\cdot n + 3 = 3.
Logo
L(q_n) = c\cdot 3^{n} \cdot 3 = 3c\;3^{n}.

Passo 8

Precisamos que L(q_n) produza a parte exponencial do lado direito, que é 3^{n} (coeficiente 1). Assim
3c = 1 \quad\Rightarrow\quad c = \tfrac{1}{3}.
Portanto
q_n = \tfrac{1}{3}\,n\,3^{n}.

Passo 9

A solução particular completa é a soma das partes:
x_n^{(p)} = p_n + q_n = \tfrac{1}{2}n + \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{3}\,n\,3^{n}.
Verificação rápida (mental): L(p_n) deu n, L(q_n) deu 3^{n}, então L(x_n^{(p)})=n+3^{n}, ou seja, está correto.

Passo 10

A solução geral da recorrência é soma da homogênea com a particular:
x_n = x_n^{(h)} + x_n^{(p)} = A\cdot 2^{n} + B\cdot 3^{n} + \tfrac{1}{3}\,n\,3^{n} + \tfrac{1}{2}n + \tfrac{3}{4},
onde A e B são constantes arbitrárias que seriam determinadas por condições iniciais, se existissem.

Resposta

x_n = A\,2^{n} + B\,3^{n} + \tfrac{1}{3}\,n\,3^{n} + \tfrac{1}{2}n + \tfrac{3}{4}

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