Determine a solução geral das equações de recorrência:
.
Passo 1
O enunciado dá a recorrência linear não-homogênea de segunda ordem
O que se pede é a solução geral
, ou seja, uma expressão que contenha as constantes arbitrárias (como
e
) e que seja válida para todo
. Informações relevantes fornecidas:
Não há condições iniciais fornecidas, então a resposta deve conter constantes livres. O termo à direita tem duas partes: um termo polinomial em
(que é
) e um termo exponencial
. A solução geral será soma da solução da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Vamos achar primeiro a solução geral da equação homogênea associada:
A técnica padrão é procurar soluções da forma
. Substituindo, obtemos a equação característica:
Resolvendo essa quadrática:
portanto as raízes são
e
, distintas.
Passo 3
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é combinação linear das potências correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias (a serem determinadas por condições iniciais, se houvesse).
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Usamos o método dos coeficientes a determinar (método das tentativas): como o lado direito é soma de um polinômio em
(grau 1) e de
, procuramos
como soma de uma parte polinomial e uma parte exponencial:
onde
é um polinômio de grau 1 (tentativa) e
trata o termo
. Contudo atenção: como
é raiz da equação característica (multiplicidade 1), para o termo
devemos multiplicar a tentativa por
. Assim escolhemos
Os coeficientes
são desconhecidos e serão determinados substituindo na recorrência.
Passo 5
Calculamos a ação do operador
definido por
sobre
. Primeiro os deslocamentos:
Aplicando
em
:
Agora vamos agrupar termos em
e constantes:
coeficiente de :
coeficiente de
termo constante:
Logo
Passo 6
Igualamos
à parte polinomial do lado direito (que é
, i.e. coeficiente de
igual a
e termo constante
):
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
portanto
. Assim
Passo 7
Agora tratamos
. Calculamos os deslocamentos:
Aplicando
em
:
Simplificando o parêntese:
Logo
Passo 8
Precisamos que
produza a parte exponencial do lado direito, que é
(coeficiente
). Assim
Portanto
Passo 9
A solução particular completa é a soma das partes:
Verificação rápida (mental):
deu
,
deu
, então
, ou seja, está correto.
Passo 10
A solução geral da recorrência é soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias que seriam determinadas por condições iniciais, se existissem.