Determine a solução geral explícita y(x) da equação diferencial
d yd x=x y e^x

Passo 1

A equação dada é dydx=x y e^x. Isso é uma equação diferencial de primeira ordem e separável — a gente vai usar o método de separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Para separar variáveis, dividimos ambos os lados por y e multiplicamos por dx, ficando:
1y,dy = x e^x,dx
Isso isola todas as dependências de y no lado esquerdo e de x no lado direito.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Do lado esquerdo:
integral 1y,dy = ln|y|
Do lado direito usamos integração por partes em integral x e^x,dx. Tomamos u=x e dv=e^xdx, então du=dx e v=e^x. Assim:
integral x e^x,dx = x e^x - integral e^x,dx = x e^x - e^x + C

Passo 4

Combinando os resultados da integração, obtemos:
ln|y| = x e^x - e^x + C

Passo 5

Para finalizar, aplicamos exponencial nos dois lados e definimos uma constante arbitrária C1=e^C, absorvendo o sinal de |y|:
|y| = C1 e^x e^x - e^x Longrightarrow y(x) = C e^x e^x - e^x,
onde C é a constante de integração geral (pode ser positiva ou negativa).

Resposta

y(x)=C,e^x e^x-e^x, onde C é constante arbitrária.

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