Determine a solução geral de:
y^prime prime-2 x1+x^2 y^prime+21+x^2 y=1+x^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear de segunda ordem
y'' - 2x1+x^2,y' + 21+x^2,y = 1 + x^2
O procedimento será: (i) achar as soluções da equação homogênea associada, (ii) obter uma solução particular da equação completa e (iii) somar os resultados.

Passo 2

Escrevemos a homogênea
y'' - 2x1+x^2,y' + 21+x^2,y = 0
Testando y1 = x obtemos
y1' = 1, y1''=0 Longrightarrow 0 - 2x1+x^2cdot1 + 21+x^2,x = -2x+2x1+x^2=0,
logo y1=x é uma solução.

Passo 3

Para achar a segunda solução usamos redução de ordem. Seja
p(x) = -2x1+x^2,
então
integral p(x),dx = -ln(1+x^2) Longrightarrow e^-integral p,dx = 1+x^2
A fórmula dá
y2 = y1(x),integral e^-integral p,dx[y1(x)]^2,dx = xintegral 1+x^2x^2,dx = xintegrall(x^-2+1r),dx = xl(-x^-1 + xr) = x^2 - 1

Passo 4

Agora aplicamos variação de parâmetros para a não-homogênea. As fundamentais são y1=x, y2=x^2-1 e o wronskiano
W = detx & x^2-11 & 2x = xcdot2x - (x^2-1)cdot1 = x^2+1
A fórmula
yp = -y1integraly2,(1+x^2)W,dx +y2integraly1,(1+x^2)W,dx
fica
-y1integral(x^2-1),dx;+;(x^2-1)integral x,dx = -xl(tfracx^33-xr)+(x^2-1),tfracx^22 = x^46+x^22

Passo 5

Portanto a solução geral é
y(x) = C1,x + C2,(x^2-1);+;x^46+x^22

Resposta

boxedy(x) = C1,x + C2,(x^2-1) + x^46 + x^22

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