- (a) Usando a integral indefinida, mostre que a solução para o problema de valor inicial
pode ser expresso como
(b) Use a integração numérica (como a regra de Simpson, Apêndice C) para aproximar a solução em
.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos um problema de valor inicial para a equação diferencial de primeira ordem
com condição inicial
. O conteúdo envolvido é a solução de equações lineares de primeira ordem usando fator integrante.
Passo 2
Para resolver a equação
identificamos o coeficiente de
como
. O fator integrante
satisfaz
cuja solução é
Multiplicando a equação original pelo fator integrante, obtemos
Passo 3
Integramos ambos os lados em relação a
:
Para determinar a constante
, usamos
:
Passo 4
Substituindo
de volta, obtemos a solução geral que satisfaz a condição inicial:
Passo 5
Para aproximar
, precisamos calcular numericamente
. Vamos usar a regra de Simpson com
subintervalos de largura
Definimos os nós
e avaliamos
:
Aplicando Simpson:
Passo 6
Finalmente,
Resposta
A solução geral é
e sua aproximação em
pelo método de Simpson com
é