1. (a) Usando a integral indefinida, mostre que a solução para o problema de valor inicial
d yd x+2 x y=1, y(2)=1
pode ser expresso como
y(x)=e^-x^2(e^4+integral2^x e^t^2 d t)
(b) Use a integração numérica (como a regra de Simpson, Apêndice C) para aproximar a solução em x=3.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos um problema de valor inicial para a equação diferencial de primeira ordem
dydx + 2x,y = 1,
com condição inicial y(2)=1. O conteúdo envolvido é a solução de equações lineares de primeira ordem usando fator integrante.

Passo 2

Para resolver a equação
dydx + 2x,y = 1,
identificamos o coeficiente de y como 2x. O fator integrante mu(x) satisfaz
mu'(x)=2x,mu(x),
cuja solução é
mu(x)=e^integral 2x,dx=e^x^2
Multiplicando a equação original pelo fator integrante, obtemos
e^x^2dydx + 2x,e^x^2y = e^x^2 Longrightarrow ddxl(y,e^x^2r) = e^x^2

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
y(x),e^x^2 = integral e^x^2,dx + C
Para determinar a constante C, usamos y(2)=1:
1cdot e^2^2 = integral?^2 e^t^2dt + C Longrightarrow e^4 = 0 + C Longrightarrow C = e^4

Passo 4

Substituindo C de volta, obtemos a solução geral que satisfaz a condição inicial:
y(x),e^x^2 = integral2^x e^t^2,dt + e^4 Longrightarrow y(x) = e^-x^2l(e^4 + integral2^x e^t^2,dtr)

Passo 5

Para aproximar y(3), precisamos calcular numericamente
integral2^3 e^t^2dt. Vamos usar a regra de Simpson com n=4 subintervalos de largura
h = 3-24 = 0,25
Definimos os nós
t0 = 2,; t1 = 2,25,; t2 = 2,5,; t3 = 2,75,; t4 = 3
e avaliamos f(t)=e^t^2:
f(t0)&=e^4approx 54,5982, f(t1)&=e^(2,25)^2=e^5,0625approx158,0, f(t2)&=e^6,25approx518,3, f(t3)&=e^7,5625approx1,924, f(t4)&=e^9approx8,103,1
Aplicando Simpson:
integral2^3e^t^2dtapprox h3l[f(t0)+4f(t1)+2f(t2)+4f(t3)+f(t4)r] approx 0,25/3cdot17,522,3approx1,460,2

Passo 6

Finalmente,
y(3) = e^-9l(e^4 + 1,460,2r) = 54,5982 + 1,460,2e^9 approx 1,514,88,103,1 approx0,187

Resposta

A solução geral é
y(x) = e^-x^2l(e^4 + integral2^xe^t^2dtr),
e sua aproximação em x=3 pelo método de Simpson com n=4 é
y(3)approx0,187

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