Determine a solução geral Real de cada EDO:
\left{ \begin{array}{l}y^{\prime \prime}-64 y=0 \\ y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a solução real geral da equação diferencial com as condições iniciais dadas. As informações do problema são:
y'' - 64y = 0
com as condições iniciais
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
Ou seja: encontrar a função y(x) que satisfaz a EDO e que, quando x=0, vale 1 e tem derivada 0. A partir daqui começamos a resolver.

Passo 2

Vamos tentar uma solução do tipo exponencial porque, para EDOs lineares com coeficientes constantes, as funções exponenciais geram igual tipo de derivadas e isso simplifica muito. Proponho
y(x)=e^{rx},
onde r é uma constante a ser determinada. Substituir essa proposta na equação vai nos dar uma equação algébrica para r (chamada equação característica).

Passo 3

Substituindo y=e^{rx} em y''-64y=0:
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^2 e^{rx}.
Logo,
r^2 e^{rx} - 64 e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica:
r^2 - 64 = 0.

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
r^2 - 64 = 0 \Rightarrow r^2 = 64 \Rightarrow r = \pm 8.
Temos duas raízes reais distintas r_1=8 e r_2=-8.

Passo 5

Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1 e r_2, a solução geral real da EDO homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x) = C_1 e^{8x} + C_2 e^{-8x},
onde C_1 e C_2 são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. (Isso decorre do princípio da superposição: soma de soluções de uma EDO linear homogênea também é solução.)

Passo 6

Precisamos aplicar as condições iniciais. Primeiro calculemos y'(x) explicitamente:
y'(x) = 8C_1 e^{8x} - 8C_2 e^{-8x}.
Agora avalie em x=0:
y(0) = C_1 + C_2,\qquad y'(0)=8C_1 - 8C_2.

Passo 7

Use as condições iniciais y(0)=1\) e \(y'(0)=0\) para obter um sistema para \(C_1,C_2\): \[\begin{cases} C_1 + C_2 = 1,\\[4pt] 8C_1 - 8C_2 = 0. \end{cases}
Da segunda equação segue 8C_1 = 8C_2\], logo \[C_1 = C_2.\] Substituindo na primeira equação: \[C_1 + C_1 = 1 \Rightarrow 2C_1 = 1 \Rightarrow C_1 = \tfrac{1}{2}.\] Portanto \(C_2 = \tfrac{1}{2}.]

Passo 8

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral:
y(x) = \tfrac{1}{2}e^{8x} + \tfrac{1}{2}e^{-8x}.
Essa expressão pode ser escrita usando a função hiperbólica cosseno:
\operatorname{cosh} t = \tfrac{e^{t}+e^{-t}}{2},
logo
y(x)=\operatorname{cosh}(8x).

Resposta

y(x)=\tfrac{e^{8x}+e^{-8x}}{2}=\operatorname{cosh}(8x)

Exercícios relacionados