Determine a solução geral Real de cada EDO:
\left{
\right.
\left{
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine a solução real geral da equação diferencial com as condições iniciais dadas. As informações do problema são:
com as condições iniciais
Ou seja: encontrar a função
que satisfaz a EDO e que, quando
, vale
e tem derivada
. A partir daqui começamos a resolver.
Passo 2
Vamos tentar uma solução do tipo exponencial porque, para EDOs lineares com coeficientes constantes, as funções exponenciais geram igual tipo de derivadas e isso simplifica muito. Proponho
onde
é uma constante a ser determinada. Substituir essa proposta na equação vai nos dar uma equação algébrica para
(chamada equação característica).
Passo 3
Substituindo
em
:
Logo,
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Temos duas raízes reais distintas
e
.
Passo 5
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, a solução geral real da EDO homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. (Isso decorre do princípio da superposição: soma de soluções de uma EDO linear homogênea também é solução.)
Passo 6
Precisamos aplicar as condições iniciais. Primeiro calculemos
explicitamente:
Agora avalie em
:
Passo 7
Use as condições iniciais
Da segunda equação segue
.]
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral:
Essa expressão pode ser escrita usando a função hiperbólica cosseno:
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