Resolva a EDO usando série de potências em x :
y^{\prime \prime}=y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y'' = y
e pede para resolvê‑la usando série de potências em x.\n
Informações importantes recebidas:
  • A função desconhecida é y(x).\n
  • A equação relaciona a segunda derivada de y com y em si.\n
  • O método exigido é desenvolver y como série de potências em torno de x=0 (série de Taylor centrada em zero) e determinar os coeficientes.\n
    O que se pede: encontrar a solução geral y(x) escrita a partir dessa série.

Passo 2

Vamos assumir uma solução em série de potências centrada em 0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são constantes (coeficientes) a determinar.\n
Comentário didático: essa suposição funciona quando a solução é analítica em torno de 0. Cada a_n representa o coeficiente da potência x^n; nosso objetivo é achar uma relação entre esses coeficientes usando a equação diferencial.

Passo 3

Derivamos a série termo a termo para obter y' e y''. A derivação termo a termo é permitida dentro do raio de convergência e segue a regra \frac{d}{dx}(a_n x^n)=n a_n x^{n-1}. Assim:
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}.

Passo 4

Substituímos y e y'' na equação \,y''=y\;:
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.
Para comparar termos com a mesma potência de x fazemos uma mudança de índice no somatório da esquerda: coloque m=n-2 ou, equivalente, reescreva com n substituindo n+2. Assim:
\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^{n} \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.

Passo 5

Agora igualamos coeficiente a coeficiente para cada potência x^n (princípio da unicidade da série de potências):
(n+2)(n+1)\,a_{n+2} = a_n,\qquad \text{para todo } n\ge 0.
Dessa igualdade obtemos a relação de recorrência que determina todos os coeficientes a partir de a_0 e a_1:
a_{n+2} = \frac{a_n}{(n+2)(n+1)}.

Passo 6

Vamos calcular os primeiros coeficientes para ver o padrão e depois generalizar.\n
Tomando n=0 na recorrência:
a_2 = \frac{a_0}{2\cdot 1} = \frac{a_0}{2!}.
Tomando n=1:
a_3 = \frac{a_1}{3\cdot 2} = \frac{a_1}{3!}.
Tomando n=2:
a_4 = \frac{a_2}{4\cdot 3} = \frac{a_0}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\frac{a_0}{4!}.
Tomando n=3:
a_5 = \frac{a_3}{5\cdot 4} = \frac{a_1}{5!}.
Fica claro o padrão: os coeficientes de ordem par dependem de a_0 e os de ordem ímpar dependem de a_1.

Passo 7

Prova por indução (esquema) do padrão encontrado:\n
  • Para os termos pares, queremos mostrar que para todo k\ge 0
a_{2k} = \frac{a_0}{(2k)!}.
Já vimos a base k=0 ( a_0=a_0/(0)! ) e k=1 ( a_2=a_0/2!). Supondo verdadeiro para k, pela recorrência com n=2k,
a_{2(k+1)} = a_{2k+2} = \frac{a_{2k}}{(2k+2)(2k+1)} = \frac{a_0}{(2k)!\,(2k+2)(2k+1)} = \frac{a_0}{(2k+2)!}.
  • Análogo para os ímpares: para todo k\ge 0
a_{2k+1} = \frac{a_1}{(2k+1)!},
com prova por indução usando a recorrência com n=2k+1.\n
Portanto os coeficientes são
a_{2k} = \frac{a_0}{(2k)!},\qquad a_{2k+1}=\frac{a_1}{(2k+1)!}.

Passo 8

Substituímos esses coeficientes na série original, separando somas de índices pares e ímpares:
y(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_{2k} x^{2k} + \sum_{k=0}^{\infty} a_{2k+1} x^{2k+1} = a_0 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!} + a_1 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.

Passo 9

Agora reconhecemos as duas séries conhecidas:\n
  • A série de \operatorname{cosh} x (cosseno hiperbólico) é
\operatorname{cosh} x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!}.
  • A série de \operatorname{sinh} x (seno hiperbólico) é
\operatorname{sinh} x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Logo a solução pode ser escrita como
y(x)=a_0\operatorname{cosh} x + a_1\operatorname{sinh} x,
onde a_0 e a_1 são constantes arbitrárias (determinadas por condições iniciais, se existirem).

Passo 10

Podemos também escrever a solução na forma exponencial conhecida usando
\operatorname{cosh} x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\qquad \operatorname{sinh} x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}.
Substituindo obtém‑se a forma alternativa
y(x)=C_1 e^{x} + C_2 e^{-x},
onde C_1=\dfrac{a_0+a_1}{2} e C_2=\dfrac{a_0-a_1}{2} (ou, invertendo, a_0=C_1+C_2, a_1=C_1-C_2).\n
Para checar: derivando y(x)=\operatorname{cosh} x ou y(x)=\operatorname{sinh} x vemos que a segunda derivada retorna à própria função, confirmando que satisfazem y''=y.

Resposta

y(x)=a_0\operatorname{cosh} x + a_1\operatorname{sinh} x
\text{(equivalente) } \; y(x)=C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}

Exercícios relacionados