Resolva a EDO usando série de potências em
:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede para resolvê‑la usando série de potências em
.\n
Informações importantes recebidas:
Informações importantes recebidas:
- A função desconhecida é
.\n - A equação relaciona a segunda derivada de
com em si.\n - O método exigido é desenvolver
como série de potências em torno de (série de Taylor centrada em zero) e determinar os coeficientes.\n
O que se pede: encontrar a solução geralescrita a partir dessa série.
Passo 2
Vamos assumir uma solução em série de potências centrada em
:
onde os
são constantes (coeficientes) a determinar.\n
Comentário didático: essa suposição funciona quando a solução é analítica em torno de . Cada
representa o coeficiente da potência
; nosso objetivo é achar uma relação entre esses coeficientes usando a equação diferencial.
Comentário didático: essa suposição funciona quando a solução é analítica em torno de
Passo 3
Derivamos a série termo a termo para obter
e
. A derivação termo a termo é permitida dentro do raio de convergência e segue a regra
. Assim:
Passo 4
Substituímos
e
na equação
:
Para comparar termos com a mesma potência de
fazemos uma mudança de índice no somatório da esquerda: coloque
ou, equivalente, reescreva com
substituindo
. Assim:
Passo 5
Agora igualamos coeficiente a coeficiente para cada potência
(princípio da unicidade da série de potências):
Dessa igualdade obtemos a relação de recorrência que determina todos os coeficientes a partir de
e
:
Passo 6
Vamos calcular os primeiros coeficientes para ver o padrão e depois generalizar.\n
Tomando na recorrência:
Tomando
Tomando
:
Tomando
:
Tomando
:
Fica claro o padrão: os coeficientes de ordem par dependem de
e os de ordem ímpar dependem de
.
Passo 7
Prova por indução (esquema) do padrão encontrado:\n
- Para os termos pares, queremos mostrar que para todo
Já vimos a base
(
) e
(
). Supondo verdadeiro para
, pela recorrência com
,
- Análogo para os ímpares: para todo
com prova por indução usando a recorrência com
.\n
Portanto os coeficientes são
Portanto os coeficientes são
Passo 8
Substituímos esses coeficientes na série original, separando somas de índices pares e ímpares:
Passo 9
Agora reconhecemos as duas séries conhecidas:\n
- A série de
(cosseno hiperbólico) é
- A série de
(seno hiperbólico) é
Logo a solução pode ser escrita como
onde
e
são constantes arbitrárias (determinadas por condições iniciais, se existirem).
Passo 10
Podemos também escrever a solução na forma exponencial conhecida usando
Substituindo obtém‑se a forma alternativa
onde
e
(ou, invertendo,
,
).\n
Para checar: derivando ou
vemos que a segunda derivada retorna à própria função, confirmando que satisfazem
.
Para checar: derivando