Determine uma solução geral para seguinte equação diferencial d yd x=y^3
scolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial dydx=y^3. O conteúdo é equações diferenciais de variáveis separáveis, e vamos usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Separe as variáveis em lados distintos: coloque todos os termos em y de um lado e em x do outro:
dyy^3=dx

Passo 3

Agora integre ambos os lados da igualdade:
integral y^-3,dy=integral dx

Passo 4

Calcule as integrais. No lado esquerdo temos:
integral y^-3,dy=-12y^2+C1
No lado direito:
integral dx=x+C2

Passo 5

Reúna as constantes em uma só ( C=C2-C1 ) e escreva:
-12y^2=x+C

Passo 6

Resolva para y: primeiro inverta e isole y^2:
1y^2=-2l(x+Cr)
Portanto
$$
y^2=\frac{1}{-2(x+C)} y^2=1-2(x+C)
y(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{-2(x+C)}}$$
Além dessa família, existe a solução singular y(x)=pm1raiz-2(x+C), pois satisfaz a equação original sem exigir divisão por y(x)=0.

Resposta

A solução geral é y(x)=pmdfrac1raiz-2(x+C), mais a solução singular y=0.

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