Determine uma solução geral para seguinte equação diferencial y^prime=xy
Escolha uma opção:
y^2=2 x+C
y=C e^e^x
y^2=x^2+C
x=sen y+C
Nenhuma das demais alternativas
y=1C-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é y' = xy . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as equações separáveis. Para resolver, a gente vai precisar separar as variáveis y e x e então integrar cada lado da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar y e x . A equação dada é:
dydx = xy
Podemos multiplicar ambos os lados por y para ficar:
y , dy = x , dx

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A ideia aqui é encontrar as antiderivadas de cada lado:
integral y , dy = integral x , dx
Integrando:
12 y^2 = 12 x^2 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar os coeficientes fracionários:
y^2 = x^2 + 2C
Como 2C ainda é uma constante, podemos simplesmente escrever C no lugar:
y^2 = x^2 + C

Resposta

A solução geral para a equação diferencial é y^2 = x^2 + C . Portanto, a opção correta é:
y^2 = x^2 + C

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