Suponha que, a uma temperatura de
, uma barra de alumínio tenha o comprimento de 10 cm . Suponha ainda que o comprimento
. Nesse caso,
é dita a variação da temperatura e
é a correspondente variação do comprimento. Além disso, para
, o quociente
é a taxa média de variação do comprimento.
Calcule a taxa instantânea
.
Calcule a taxa instantânea
Passo 1
Beleza, então vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que envolve taxa de variação instantânea, que faz parte do Cálculo Diferencial. A questão fala sobre como o comprimento de uma barra de alumínio muda quando a temperatura varia. A gente precisa calcular a taxa instantânea dessa variação, ou seja, como exatamente o comprimento está mudando naquele ponto específico de temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as informações que a gente tem:
- Temperatura inicial,
- Comprimento inicial da barra,
cm - A função que relaciona o comprimento com a temperatura é
Queremos encontrar a taxa instantânea de variação do comprimento em relação à temperatura, que matematicamente é representada pelo limite:
Passo 3
Vamos substituir a função
na expressão da taxa média:
Passo 4
Agora, simplificamos a expressão:
Perceba que
aparece no numerador e no denominador e pode ser cancelado (desde que
, o que já estamos considerando).
Passo 5
Agora, aplicamos o limite:
Como a expressão já é constante, o limite é o próprio valor.
Resposta
A taxa instantânea de variação do comprimento da barra de alumínio em relação à temperatura é
cm/°C.