Suponha que, a uma temperatura de t0=25^circ C, uma barra de alumínio tenha o comprimento de 10 cm . Suponha ainda que o comprimento c(t)=10+10^-4 times(t-t0). Nesse caso, |t-t0| é dita a variação da temperatura e |c(t)-c(t0)| é a correspondente variação do comprimento. Além disso, para t neq t0, o quociente c(t)-c(t0)t-t0 é a taxa média de variação do comprimento.
Calcule a taxa instantânea lim t t0 c(t)-c(t0)t-t0.

Passo 1

Beleza, então vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que envolve taxa de variação instantânea, que faz parte do Cálculo Diferencial. A questão fala sobre como o comprimento de uma barra de alumínio muda quando a temperatura varia. A gente precisa calcular a taxa instantânea dessa variação, ou seja, como exatamente o comprimento está mudando naquele ponto específico de temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que a gente tem:
  • Temperatura inicial, t0 = 25^circ C
  • Comprimento inicial da barra, c(t0) = 10 cm
  • A função que relaciona o comprimento com a temperatura é c(t) = 10 + 10^-4 times (t - t0)
Queremos encontrar a taxa instantânea de variação do comprimento em relação à temperatura, que matematicamente é representada pelo limite:
limt t0 c(t) - c(t0)t - t0

Passo 3

Vamos substituir a função c(t) na expressão da taxa média:
c(t) - c(t0)t - t0 = [10 + 10^-4 times (t - t0)] - 10t - t0

Passo 4

Agora, simplificamos a expressão:
10 + 10^-4 times (t - t0) - 10t - t0 = 10^-4 times (t - t0)t - t0
Perceba que (t - t0) aparece no numerador e no denominador e pode ser cancelado (desde que t neq t0 , o que já estamos considerando).
10^-4 times cancel(t - t0)cancelt - t0 = 10^-4

Passo 5

Agora, aplicamos o limite:
limt t0 10^-4 = 10^-4
Como a expressão já é constante, o limite é o próprio valor.

Resposta

A taxa instantânea de variação do comprimento da barra de alumínio em relação à temperatura é 10^-4 cm/°C.

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