Determine o maior valor de
para o qual a equação diferencial
tem uma solução na forma
:
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o maior valor de
que faz com que a equação diferencial
tenha uma solução na forma
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica, que nos ajuda a encontrar os valores de
que satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a solução proposta
na equação diferencial. Isso significa que precisamos calcular as derivadas de
:
Passo 3
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 4
Como
nunca é zero, podemos dividir toda a equação por
e simplificar:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 6
Calculando o discriminante:
Como
, temos duas raízes reais distintas.
Passo 7
Aplicando na fórmula:
Então, as soluções são:
Resposta
O maior valor de
é
.