Determine o maior valor de r para o qual a equação diferencial 2 y^prime prime-6 y^prime-20 y=0 tem uma solução na forma y=e^r t :
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o maior valor de r que faz com que a equação diferencial 2 y'' - 6 y' - 20 y = 0 tenha uma solução na forma y = e^r t . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica, que nos ajuda a encontrar os valores de r que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a solução proposta y = e^r t na equação diferencial. Isso significa que precisamos calcular as derivadas de y :
y' = r e^r t e y'' = r^2 e^r t

Passo 3

Agora, substituímos y , y' e y'' na equação diferencial original:
2 y'' - 6 y' - 20 y = 0 Rightarrow 2 (r^2 e^r t) - 6 (r e^r t) - 20 (e^r t) = 0

Passo 4

Como e^r t nunca é zero, podemos dividir toda a equação por e^r t e simplificar:
2 r^2 - 6 r - 20 = 0
Essa é a nossa equação característica.

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática 2 r^2 - 6 r - 20 = 0 para encontrar os valores de r . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 2 , b = -6 e c = -20 .

Passo 6

Calculando o discriminante:
De<a = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 cdot 2 cdot (-20) = 36 + 160 = 196
Como De<a > 0 , temos duas raízes reais distintas.

Passo 7

Aplicando na fórmula:
r = -(-6) pm raiz1962 cdot 2 = 6 pm 144
Então, as soluções são:
r1 = 6 + 144 = 204 = 5 e r2 = 6 - 144 = -84 = -2

Resposta

O maior valor de r é 5 .
boxed5

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