Determine uma solução geral para seguinte equação diferencial
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear:
. A gente vai precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a achar a solução geral dessas equações. Basicamente, vamos transformar a equação para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, identificamos os termos da nossa equação linear padrão
. Aqui,
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por
.
Passo 3
Vamos calcular o fator integrante:
Esse fator vai multiplicar toda a equação original para facilitar a resolução.
Passo 4
Multiplicando a equação original pelo fator integrante, temos:
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Então podemos escrever:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Essa integral pode ser complicada, mas podemos simplificar percebendo que
é a expressão dentro da integral.
Passo 6
Resolvendo a integral (usando métodos de integração por partes ou substituição), obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: