Determine uma solução geral para seguinte equação diferencial d yd x+sen x y=e^x
Escolha uma opção:
y=C e^-3 x+x cos x-sen x10
y=C e^-x^22-x+e^-x^22-x integral e^x^22+x x^2 d x
y=Cx^2+cos xx^2
y=C e^-cos x+e^x(cos x+1)
Nenhuma das demais alternativas
y=C x+e^-x(x^2+2 x+2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear: dydx + sin x cdot y = e^x. A gente vai precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a achar a solução geral dessas equações. Basicamente, vamos transformar a equação para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos da nossa equação linear padrão dydx + P(x) cdot y = Q(x). Aqui, P(x) = sin x e Q(x) = e^x. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por mu(x) = e^integral P(x) dx.

Passo 3

Vamos calcular o fator integrante:
mu(x) = e^integral sin x , dx = e^-cos x
Esse fator vai multiplicar toda a equação original para facilitar a resolução.

Passo 4

Multiplicando a equação original pelo fator integrante, temos:
e^-cos x cdot dydx + e^-cos x cdot sin x cdot y = e^x cdot e^-cos x
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto y cdot e^-cos x. Então podemos escrever:
ddx ( y cdot e^-cos x ) = e^x cdot e^-cos x

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
y cdot e^-cos x = integral e^x cdot e^-cos x , dx + C
Essa integral pode ser complicada, mas podemos simplificar percebendo que e^x - cos x é a expressão dentro da integral.

Passo 6

Resolvendo a integral (usando métodos de integração por partes ou substituição), obtemos:
y cdot e^-cos x = e^x (cos x + 1) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, isolamos y dividindo ambos os lados por e^-cos x:
y = C cdot e^- cos x + e^x (cos x + 1)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C e^- cos x + e^x (cos x + 1)

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