Encontre o valor de
para que a função dada seja contínua em
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar o valor de $ a > 0 $ que faz a função $ f(x, y) $ ser contínua no ponto $ (0,0) $. A função é definida de duas formas: uma quando $ (x, y) $ não é $ (0,0) $ e outra quando é exatamente $ (0,0) $. Para resolver isso, vamos trabalhar com o conceito de continuidade e calcular alguns limites.
Passo 2
Primeiro, o que é continuidade? Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando você se aproxima desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto. Ou seja, para $ f(x, y) $ ser contínua em $ (0,0) $, o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ precisa ser igual a $ f(0,0) $.
Passo 3
Vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $. A função para $ (x, y) \neq (0,0) $ é:
Para facilitar, vamos fazer uma substituição: deixe $ t = xy $. Assim, a função fica:
Agora, queremos encontrar:
Passo 4
Vamos resolver o limite passo a passo:
-
Primeiro termo: $ \frac{t{2}}{\sqrt{t{2} + 4} - 2} $Para simplificar, vamos racionalizar o denominador multiplicando e dividindo por $ \sqrt{t^{2} + 4} + 2 $:Agora, quando $ t $ se aproxima de 0:
-
Segundo termo: $ 2t $Quando $ t $ se aproxima de 0, $ 2t $ também tende a 0.
Agora, somando os dois resultados:
Portanto, o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ é 4.
Passo 5
Para que a função seja contínua em $ (0,0) $, esse limite deve ser igual ao valor de $ f(0,0) $. Ou seja:
Vamos resolver essa equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Como $ a > 0 $, descartamos a solução negativa. Portanto, $ a = \frac{2}{5} $.
Resposta
O valor de $ a $ que torna a função contínua em $ (0,0) $ é $ a = \frac{2}{5} $.