Encontre o valor de a>0 para que a função dada seja contínua em (0,0) :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar o valor de $ a > 0 $ que faz a função $ f(x, y) $ ser contínua no ponto $ (0,0) $. A função é definida de duas formas: uma quando $ (x, y) $ não é $ (0,0) $ e outra quando é exatamente $ (0,0) $. Para resolver isso, vamos trabalhar com o conceito de continuidade e calcular alguns limites.

Passo 2

Primeiro, o que é continuidade? Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando você se aproxima desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto. Ou seja, para $ f(x, y) $ ser contínua em $ (0,0) $, o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ precisa ser igual a $ f(0,0) $.

Passo 3

Vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $. A função para $ (x, y) \neq (0,0) $ é:
f(x, y)
Para facilitar, vamos fazer uma substituição: deixe $ t = xy $. Assim, a função fica:
(x, y)
Agora, queremos encontrar:
(0,0)

Passo 4

Vamos resolver o limite passo a passo:
  1. Primeiro termo: $ \frac{t{2}}{\sqrt{t{2} + 4} - 2} $
    Para simplificar, vamos racionalizar o denominador multiplicando e dividindo por $ \sqrt{t^{2} + 4} + 2 $:
    t^2raizt^2 + 4 - 2
    Agora, quando $ t $ se aproxima de 0:
    raizt^2 + 4 + 2
  2. Segundo termo: $ 2t $
    Quando $ t $ se aproxima de 0, $ 2t $ também tende a 0.
Agora, somando os dois resultados:
t^2 (raizt^2 + 4 + 2)(raizt^2 + 4 - 2)(raizt^2 + 4 + 2) = t^2 (raizt^2 + 4 + 2)t^2 + 4 - 4 = t^2 (raizt^2 + 4 + 2)t^2 = raizt^2 + 4 + 2
Portanto, o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ é 4.

Passo 5

Para que a função seja contínua em $ (0,0) $, esse limite deve ser igual ao valor de $ f(0,0) $. Ou seja:
(0,0)
Vamos resolver essa equação quadrática:
f(0,0)
Usando a fórmula de Bhaskara:
20a^2 - 3a + 2 = 4
Isso nos dá duas soluções:
20a^2 - 3a + 2 - 4 = 0 20a^2 - 3a - 2 = 0
Como $ a > 0 $, descartamos a solução negativa. Portanto, $ a = \frac{2}{5} $.

Resposta

O valor de $ a $ que torna a função contínua em $ (0,0) $ é $ a = \frac{2}{5} $.

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