Determine a solução geral da seguinte equação diferencial:
Passo 1
No enunciado temos a equação diferencial
. Esse tipo de EDO é linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos associar a ela a equação característica.
Passo 2
Substituindo a tentativa
na EDO, obtemos a equação característica
Passo 3
Para resolver
usamos a fórmula de Bhaskara:
. O discriminante é
, logo as raízes são complexas.
Passo 4
Como
, as raízes são \nAqui identificamos
e
. Para raízes da forma
, a solução geral é
Passo 5
Substituindo
e
, concluímos que
Resposta
y(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x)\bigr)