Determine a solução geral da seguinte equação diferencial:
y^prime prime+2 y^prime+10 y=0

Passo 1

No enunciado temos a equação diferencial y'' + 2y' + 10y = 0. Esse tipo de EDO é linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos associar a ela a equação característica.

Passo 2

Substituindo a tentativa y=e^rx na EDO, obtemos a equação característica
r^2 + 2r + 10 = 0

Passo 3

Para resolver r^2 + 2r + 10 = 0 usamos a fórmula de Bhaskara: r = -2 pm raiz2^2 - 4 cdot 1 cdot 102 cdot 1. O discriminante é De, logo as raízes são complexas.

Passo 4

Como De, as raízes são \nAqui identificamos r = -2 pm raiz-362 = -1 pm 3i e alpha = -1. Para raízes da forma beta = 3, a solução geral é

Passo 5

Substituindo alpha=-1 e beta=3, concluímos que

Resposta

y(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x)\bigr)

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