Simplifique a seguinte expressão: f(x)-f(a)x-a, x neq a, se:
a) f(x)=x^2, a=1
b) f(x)=x^3, a=-2
c) f(x)=x^2+x, a=-1
d) f(x)=1x, a=1
e) f(x)=2 x+1, a=2
f) f(x)=1x^2, a=2
g) f(x)=x^3+x, a=2
h) f(x)=1x^3, a=3
i) f(x)=raiz[3]x+1, a=1

Passo 1

A ideia geral é simplificar o quociente de diferença f(x)-f(a)x-a, que representa a taxa média de variação de f entre x e a. Para cada item, vamos calcular primeiro f(a), formar o numerador f(x)-f(a), dividir por (x-a) e usar fatoração ou identidades algébricas para simplificar.

Passo 2

Para (a) temos f(x)=x^2 e a=1. Calculamos f(1)=1^2=1, então o quociente fica
x^2-1x-1
Usamos a fatoração x^2-1=(x-1)(x+1) e cancelamos (x-1), obtendo x+1.

Passo 3

Em (b) f(x)=x^3 e a=-2. Então f(-2)=(-2)^3=-8 e
x^3-(-8)x-(-2)=x^3+8x+2
Fatoramos x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4) e cancelamos (x+2), ficando x^2-2x+4.

Passo 4

Para © f(x)=x^2+x e a=-1. Calculamos f(-1)=(-1)^2+(-1)=1-1=0 e
x^2+x-0x-(-1)=x(x+1)x+1
Cancelando (x+1) obtemos x.

Passo 5

No item (d), f(x)=1/x e a=1. Então f(1)=1 e
1/x-1x-1= rac1-xxx-1= rac1-xx(x-1)
Como 1-x=-(x-1), isso vira -1/x.

Passo 6

Em (e) f(x)=2x+1 e a=2. Temos f(2)=5 e
2x+1-5x-2= rac2x-4x-2= rac2(x-2)x-2=2

Passo 7

Para (f) f(x)=1/x^2 e a=2. Então f(2)=1/4 e
$$\frac{1/x^2-1/4}{x-2}= rac{\frac{4-x2}{4x2}}{x-2} =
\frac{4-x2}{4x2(x-2)}.$$
Notando que 1/x^2-1/4x-2= rac4-x^24x^2x-2 = 4-x^24x^2(x-2), cancelamos 4-x^2=-(x^2-4)=-(x-2)(x+2) e dá (x-2).

Passo 8

Em (g) f(x)=x^3+x e a=2. Então f(2)=8+2=10 e
x^3+x-10x-2
Fazendo divisão sintética por x-2 surge o quociente x^2+2x+5.

Passo 9

No item (h), f(x)=1/x^3 e a=3. Assim f(3)=1/27 e
$$\frac{1/x^3-1/27}{x-3}= rac{\frac{27-x3}{27x3}}{x-3}
= rac{27-x3}{27x3(x-3)}.$$
Como 1/x^3-1/27x-3= rac27-x^327x^3x-3 = rac27-x^327x^3(x-3), cancelamos 27-x^3=-(x^3-27)=-(x-3)(x^2+3x+9) e fica (x-3).

Passo 10

Finalmente em (i) f(x)=raiz[3]x+1=(x+1)^1/3 e a=1. Temos f(1)=2^1/3 e
(x+1)^1/3-2^1/3x-1
Usamos a identidade
(u-v)=u^3-v^3u^2+uv+v^2,
sendo u=(x+1)^1/3 e v=2^1/3. Como u^3-v^3=(x+1)-2=x-1, o quociente simplifica para
x-1(x-1)(u^2+uv+v^2)=1(x+1)^2/3+(x+1)^1/32^1/3+2^2/3

Resposta

a) x+1
b) x^2-2x+4
c) x
d) -1/x
e) 2
f) -tfracx+24x^2
g) x^2+2x+5
h) -tfracx^2+3x+927x^3
i) dfrac1(x+1)^2/3+(x+1)^1/32^1/3+2^2/3

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