Determine a solução geral da seguinte equação diferencial:
Passo 1
Temos a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo da matéria é EDO linear homogênea de segunda ordem e vamos precisar montar a equação característica.
Passo 2
Fazemos a suposição de que a solução tem a forma
. Assim,
Essa ideia vem do fato de que a exponencial gera uma equação algébrica ao ser substituída.
Passo 3
Substituindo
e
na EDO obtemos
Como
, a parte relevante é a equação característica:
Passo 4
Resolvemos a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
Logo as raízes são
Passo 5
Como as raízes
e
são reais e distintas, as soluções fundamentais são
e
. Portanto, a solução geral da EDO é dada pela combinação linear dessas soluções:
Resposta
A solução geral é
.