Determine a solução geral da seguinte equação diferencial:
y^prime prime-y^prime-2 y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' - 2y = 0
O conteúdo da matéria é EDO linear homogênea de segunda ordem e vamos precisar montar a equação característica.

Passo 2

Fazemos a suposição de que a solução tem a forma y(x)=e^rx. Assim,
y'(x)=r e^rx e
y''(x)=r^2 e^rx.
Essa ideia vem do fato de que a exponencial gera uma equação algébrica ao ser substituída.

Passo 3

Substituindo y, y' e y'' na EDO obtemos
e^rx(r^2 - r - 2)=0
Como e^rxneq 0, a parte relevante é a equação característica:
r^2 - r - 2 = 0

Passo 4

Resolvemos a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
r = 1 pm raiz1^2 - 4cdot1cdot(-2)2cdot1 = 1 pm raiz92 = 1 pm 32
Logo as raízes são
r1=2 e r2=-1.

Passo 5

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, as soluções fundamentais são e^2x e e^-x. Portanto, a solução geral da EDO é dada pela combinação linear dessas soluções:

Resposta

A solução geral é y(x) = C1 e^2x + C2 e^-x.

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