Determine a solução geral da seguinte equação diferencial:
y^prime prime+2 y^prime=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
y'' + 2y' = 0
que é uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Assumimos a solução da forma y = e^rx, então
y' = r e^rx,
y'' = r^2 e^rx
Substituindo em y'' + 2y' = 0 e dividindo por e^rxneq0, obtemos o polinômio característico
r^2 + 2r = 0
Fatorando,
r(r + 2) = 0
logo as raízes são r1 = 0 e r2 = -2.

Passo 3

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral é dada por
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Substituindo as raízes,
y(x) = C1 e^0cdot x + C2 e^-2x = C1 + C2 e^-2x

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^-2x

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